汉诺塔问题:如果将n个盘子(由小到大)从a通过b,搬到c,搬运过程中不能出现小盘子在大盘子下面的情况。
分析:这个一个递归问题。只要将n-1个盘子从a通过c(没有中间点肯定不行)搬到b,再将第n个盘子从a搬到c,最后将n-1个盘子从b通过a搬到c。
代码:
一.递归算法b2_hannoi.cpp
#include//汉诺塔
#include
#include
usingnamespace std;
voidmove(char x,char y)
{
cout<<x<<“–>”<<y<<endl;
}
voidhanoi(int n,char one,char two,charthree) //将one上的盘子,借助two搬到three上
{
if(n==1)
move(one,three);
else
{
hanoi(n-1,one,three,two);
move(one,three);
hanoi(n-1,two,one,three); //类似于函数名的作用,即将这n-1个盘子从two搬到three上
}
}
intmain()
{
clock_t start, finish;
double totaltime;
unsigned intn; //都不为负,可增加表示范围
while(1)
{
start=clock();
srand((unsigned)time(0));
n=rand()+1;
cout<<“Thesteps of moving “<<n<<” disks:”<<endl;
hanoi(n,’A’,’B’,’C’);
finish=clock();
totaltime=(double)(finish-start);
cout<<n<<“个盘子的运行时间为”<<totaltime<<“毫秒!”<<endl;
system(“pause”);
}
return 0;
}
1。根据递归算法,设f(n)为n个盘子要移动的次数。那么显然 f(n + 1) = 2*f(n) +1 -> [f(n+ 1) + 1]= 2*[f(n) +1] f(1)= 1,-> f(n) + 1 = (1 + 1)^n -> f(n) = 2^n -1。
f(64)=2^64-1=18446744073709551615
假如每秒钟一次,共需多长时间呢?一年大约有 31536926秒,计算表明移完这些金片需要5800多亿年,比地球寿命还要长,事实上,世界、梵塔、庙宇和众生都已经灰飞烟灭。
2。在屏幕上是否输出对程序执行时间影响很大,输出时的几个结果10->171 14->2797, 15->5484, 16->11031毫秒。不输出结果只进行空转30个盘子需要48750毫秒,那么40个盘子需要49921072毫秒,大约13小时
3。在执行递归程序时,cpu运行基本保持在50%
二.非递归算法
非递归算法:
定义从小到大的盘子序号分别为1,2,……n。
可以用一个1到2^n -1的2进制序列可以模拟出n个盘子的汉诺塔过程中被移动的盘子的序号序列。
即给定一个n,我们通过0到2^n -1序列可以判断出任意一步应该移动那个盘子。
判断方法:第m步移动的盘子序号是m用二进制表示的最低位bit为1的位置。
证明略。
下面讨论第m步应该移动对应的盘子从哪到哪?
定义顺序为 A->B->C->A,逆序为C->B->A->C。
性质对n个盘子的汉诺塔,任意一个盘子k(k <=n)k在整个汉诺塔的移动过程中要么一直顺序的,要么一直逆序的。而且如果k在n个盘子移动过程的顺序和k – 1(如果k >1)以及k + 1(如果k < n)的顺序是反序。
比如:n =3
1A->C
2A->B
1C->B
3A->C
1B->A
2B->C
1A->C
其中1的轨迹A->C->B->A>C逆序,2的轨迹A->B->C顺序,3的轨迹A->C逆序
代码:b2_hanoi3.cpp
#include
using namespace std;
intmain()
{
int n;
cin >> n;
char order[256];
char pos[64];
order[0][‘A’] = ‘B’;
order[0][‘B’] = ‘C’;
order[0][‘C’] = ‘A’;
order[‘A’] = ‘C’;
order[‘B’] = ‘A’;
order[‘C’] = ‘B’; //0是顺序1是逆序
int index[64];//确定轨迹的顺序还是逆序
int i, j, m;
for(i = n; i > 0; i -= 2)
index= 1;
for(i = n – 1; i > 0; i -= 2)
index= 0;
memset(pos, ‘A’,sizeof(pos)); //将pos的每个元素置为A
for(i = 1; i < (1 <<n); i ++)
{
for(m= 1, j = i; j%2 == 0; j/=2, m++); //单独一句,怎么就能构造出12 1 3 12 这样的序列??
cout<< m <<” : “<<pos <<“–> ” << order[index][pos] << endl;
pos = order[index][pos];
}
return 0;
}
固定序列1 2 1 3 12 1