N皇后问题
【题目描述】 N皇后问题
世界历史上曾经出现一个伟大的罗马共和时期，处于权力平衡的目的，当时的政治理论家波利比奥斯指出：“事涉每个人的权利，绝不应该让任何权利大的压过其它力量，使他人无法立足于平等条件与之抗辩的地步。”这类似著名的N皇后问题，即在NXN格的国际象棋上摆放N个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，请问有多少中摆法，并将每种摆法打印出来。图1所示即是摆法的一种。
【输入格式】
输入一个整数，即N(14>N>3)。
【输出格式】
输出所有摆法，每个摆法占一行
【输入样例】
4
【输出格式】
2413
3142
【输出说明】
N=4的棋盘输出的两种方案即图2所示
递归算法1★
若想遍历所有摆法而无一遗漏，可以逐行从上至下、从左至右尝试棋子的摆放。以N=4的棋盘为例，其遍历过程如图3所示。
Tips:棋盘坐标上一般会想到用二维数组来表示，如定义二维数组a[8][8],则a[0][0]=1代表棋盘第一行第一列有棋子，a[3][4]=0代表棋盘第4行第5列无棋子……但实际上只用一个一维数组可以解决该问题。
例如，使用a[8]来表示棋盘坐标时，假设a[0]=7，即表示第1行第7列有棋子，a[1]=2即表示第2行第2列有棋子，而且这种方法无须再判断两皇后是否在同一行。
可以定义一个Try(x,y)函数判断棋盘(x,y)处是否可以放皇后：
(1)不在同一列
(2)不在对角线上，即有两棋子坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2)，则|X1-X2|!=|Y1-Y2|
源码：
//N皇后问题——递归算法
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int n,a[21];
void print() //打印棋子
{int i=1;
for(;i<=n;i++)
cout<<a[i];
cout<<" ";
if(i%7==0)
cout<<endl;
}
void printGraph() //图形化打印布局
{
system("color F0"); //DOs命令改变背景色和前景色，颜色为16进制数0~F
for(int i=1;i<=n;++i)
{
for(int j=1;j<=n;++j)
if(a[i] == j)
cout<<"O";
else
cout<<"▅";
cout<<endl;
}
cout<<endl;
}
int Try(int x,int y) //测试x行y列可否摆放棋子，成功返回1，否则返回0
{
int j=1;
while(j<x) //与数组中已放好的数比较
{
if((a[j] == y) || (abs(x-j) == abs(a[j]-y)))
return 0;
++j; //右移一格继续尝试
}
return 1;
}
void place(int x) //递归函数
{
int y;
if(x>n) //棋子第n行已摆好，则打印成功方案
{
print();
//printGraph(); //打印图形化布局
}
else
{
for(y=1;y<=n;++y) //该行棋子依次从左向右移
if(Try(x,y)) //如果可以摆放
{
a[x]=y; //给a[x]赋值
place(x+1); //继续下一行的递归
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
place(1); //从第1行开始递归
return 0;
}该程序中有个用于调试的printGraph()函数，选用它可图形化显示布局方案，如图所示：
为了深入理解递归调用的过程，设N=4，则可将place(4)到place(4)的过程展开，如图所示：
运行过程如图下图所示。
模拟该程序运行过程时会发现，通过程序不断的进进退退，最后就打印除了全部的布局。
由此可知，递归中常常隐含回溯，回溯即选择一条路走下去，发现走不通，就返回去再选一条路走。
以下为八皇后问题的解决，共92种摆法：
改程序当N>13时，速度将慢的难以忍受，并且考虑到输出方案浪费了大量的时间，此后的优化算法只需要输出方案数即可。
递归算法2★
以N=4为例，下图左是正斜线，右是反斜线，即有2xN-1条、反斜线。
1号正斜线所占据的棋盘单元为(1,1)
2号正斜线所占据的棋盘单元为(1,2)(2,1)
3号正斜线所占据的棋盘单元为(1,3)(2,2)(3,1)
4号正斜线所占据的棋盘单元为(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
5号正斜线所占据的棋盘单元为(2,4)(3,3)(4,2)
6号正斜线所占据的棋盘单元为(3,4)(4,2)
7号正斜线所占据的棋盘单元为(4,4)
可以发现规律如下：
(1) 同一正斜线所占据的棋盘单元行列之和相等，如上面7条正斜线分别为2、3、4、5、6、7、8.
(2) 同一反斜线所占据的棋盘单元行列之差相等。
故可以定义bool数组x1[ ]用来记录行列之和为i的正斜线是否已经被占据，bool数组x2[ ]用来记录行列之差为i的反斜线是否已经被占据。考虑到行列之差可能为负数，棋盘坐标(x,y)对应x2[ x-y+n]。
再定义一个bool数组y[ ]判断列冲突，如果y[i]=1，说明前面已有皇后放到在这一列，再放会发生列冲突，y[i]=0，说明当前第i列还没有放置皇后。
参考代码：
//N皇后——递归算法2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int n,num;
int a[20]={0};
bool y[41],x1[41],x2[41];
void place(int x) //递归函数
{
if(x>n)
++num; //找到一个摆法，计数器加1
else
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(y[i] == 0 && x1[x+i] ==0 && x2[x-i+n] == 0) //如果列，正斜线，反斜线无冲突
{
a[x] = i; //给a[x]赋值
y[i] = 1; //列坐标做标记
x1[x+i] = 1; //正斜线做标记
x2[x-i+n] = 1; //反斜线做标记
place(x+1); //继续下一行的递归
y[i] = 0; //恢复
x1[x+i] = 0; //恢复正斜线标记为0
x2[x-i+n] = 0; //恢复反斜线标记为0
}
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
place(1);
cout<<num<<endl;
}优化后的程序提高了很多，但是当N>=14时候，速度还是较慢，我们还可以再次基础上继续优化，这里我就不继续写了，希望大家能够自己优化。
