#从一个小例子看贝叶斯公式的应用

###应用Bayesian公式考察如下的实例并回答问题。

张某为了解自己患上了X疾病的可能性，去医院作常规血液检查。其结果居然为阳性，他赶忙到网上查询。根据网上的资料，血液检查实验是有误差的，这种实验有“1%的假阳性率和1%的假阴性率”（真的患病者得到阴性结果称为假阴性，未患病的人得到阳性结果称为假阳性）。即在得病的人中做实验，有1%的概率是假阴性，99％是真阳性。而在未得病的人中做实验，有1%的概率是假阳性，99％是真阴性。于是张某根据这种解释，估计他自己得了X疾病的概率为99%。张某的推理是，既然只有1%的假阳性率，那么，99%都是真阳性，那我已被感染X病的概率便应该是99%。

张某咨询了医生，医生说：“99%？哪有那么大的感染几率啊。99％是测试的准确性，不是你得病的概率。你忘了一件事：这种X疾病的正常比例是不大的，1000个人中只有一个人有X病。”

张某不放心，又做了一个尿液检查，进一步检查他患上了X疾病的可能性，其结果仍然为阳性，尿液检查的实验有“5%的假阳性率和5%的假阴性率”。

a）张某初始计算感染X病的概率是99%，问题出在哪？
b）张某在血液检查之后感染X病的概率是多少？
c）张某在血液和尿液检查之后得X病的概率是多少？
d）如果根据张某的家族遗传信息，他得X病的概率是百分之一，请问结合血液和尿液检查结果，张某得X病的概率是多少？

a） 在这个例子中，张某由于没有认识到X疾病在人群中的患病率对于自己患病率的影响，从而得出了错误的结论。换言之，虽然，真阳性率+假阳性率=100%，反问，难道所有人都是阳性吗？张某错误的结论建立在所有人都是阳性的基础之下。

b）那么张某在血液检查之后的患病率是多少呢？画一张图来说明问题。

由此，根据贝叶斯公式，可以计算张某在血液检查后患病的概率为：
P ( 患 / 阳 ) = P ( 患 ) ∗ P ( 阳 / 患 ) P ( 患 ) ∗ P ( 阳 / 患 ) + P ( 不 患 ) ∗ P ( 阳 / 不 患 ) = 99 % ∗ 1 / 1000 99 % ∗ 1 / 1000 + 1 % ∗ 999 / 1000 ≈ 9 % P(患/阳) = \frac{P(患)*P(阳/患)}{P(患)*P(阳/患)+P(不患)*P(阳/不患)}=\frac{99\%*1/1000}{99\%*1/1000+1\%*999/1000} \approx 9\% P(患/阳)=P(患)∗P(阳/患)+P(不患)∗P(阳/不患)P(患)∗P(阳/患)​=99%∗1/1000+1%∗999/100099%∗1/1000​≈9%

c）在血液检查之后，我们算得了张某患病的概率，相对于原来的 1 / 1000 1/1000 1/1000，在检验血液阳性的条件下的患病的概率增加为了 9 % 9\% 9%。在这样的前题之下，我们又对张某的尿液进行检查，检验为阳性。那么此时患病的概率计算方式同前，只不过是患病的概率更新为了 9 % 9\% 9%。如图所示：

同样地，由贝叶斯公式，有：

P 尿 ( 患 / 阳 ) = P 尿 ( 患 ) ∗ P 尿 ( 阳 / 患 ) P 尿 ( 患 ) ∗ P 尿 ( 阳 / 患 ) + P 尿 ( 不 患 ) ∗ P 尿 ( 阳 / 不 患 ) = 95 % ∗ 9 % 95 % ∗ 9 % + 5 % ∗ 91 % ≈ 65 % P_尿(患/阳) = \frac{P_尿(患)*P_尿(阳/患)}{P_尿(患)*P_尿(阳/患)+P_尿(不患)*P_尿(阳/不患)}=\frac{95\%*9\%}{95\%*9\%+5\%*91\%} \approx 65\% P尿​(患/阳)=P尿​(患)∗P尿​(阳/患)+P尿​(不患)∗P尿​(阳/不患)P尿​(患)∗P尿​(阳/患)​=95%∗9%+5%∗91%95%∗9%​≈65%

d） 根据张某的家族患病率，我们知道在没有任何先验信息的前题下张某的患病率为 1 % 1\% 1%而不是 1 / 1000 1/1000 1/1000，利用这个数值，重新进行以上的两步计算，即可知根据张某的家族遗传信息，结合血液和尿液检查结果，张某得X病的概率。计算如下：

P ( 患 / 阳 ) = P ( 患 ) ∗ P ( 阳 / 患 ) P ( 患 ) ∗ P ( 阳 / 患 ) + P ( 不 患 ) ∗ P ( 阳 / 不 患 ) = 99 % ∗ 1 / 100 99 % ∗ 1 / 100 + 1 % ∗ 99 / 100 ≈ 50 % P(患/阳) = \frac{P(患)*P(阳/患)}{P(患)*P(阳/患)+P(不患)*P(阳/不患)}=\frac{99\%*1/100}{99\%*1/100+1\%*99/100} \approx 50\% P(患/阳)=P(患)∗P(阳/患)+P(不患)∗P(阳/不患)P(患)∗P(阳/患)​=99%∗1/100+1%∗99/10099%∗1/100​≈50%
P 尿 ( 患 / 阳 ) = P 尿 ( 患 ) ∗ P 尿 ( 阳 / 患 ) P 尿 ( 患 ) ∗ P 尿 ( 阳 / 患 ) + P 尿 ( 不 患 ) ∗ P 尿 ( 阳 / 不 患 ) = 95 % ∗ 50 % 95 % ∗ 50 % + 5 % ∗ 50 % ≈ 95 % P_尿(患/阳) = \frac{P_尿(患)*P_尿(阳/患)}{P_尿(患)*P_尿(阳/患)+P_尿(不患)*P_尿(阳/不患)}=\frac{95\%*50\%}{95\%*50\%+5\%*50\%} \approx 95\% P尿​(患/阳)=P尿​(患)∗P尿​(阳/患)+P尿​(不患)∗P尿​(阳/不患)P尿​(患)∗P尿​(阳/患)​=95%∗50%+5%∗50%95%∗50%​≈95%

这就是说，在家族患病率和两次检查这样的前题之下，两次利用贝叶斯公式计算知张某得病的概率高达95%。