打印杨辉三角形(Pascal’s triangle)——利用链式队列
1. 杨辉三角的概念
- 杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
- 将二项式 (a+b)i 展开，其系数构成杨辉三角形(国外称Pascal’s triangle)，按行将展开式系数的前n行打印出来。从三角形的形状可知，除第1行以外，在打印第i行时，用到上一行(第i-1行)的数据，在打印第i+1行时，又用到第i行的数据。
- 注：在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623—-1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。
2. 杨辉三角的基本性质
- 前提是端点的数为1。
- 每个数等于它上方两数之和。
- 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
- 第n行的数字有n+1项。
- 第n行数字和为 2n−1 。
- 第n行的m个数可表示为 C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
- 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
- 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
- (a+b)n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
- 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
- 将各行数字相排列，可得 11n−1 (n为行数)：1= 110 ; 11= 111 ; 121= 112 ……当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字“1”放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是 11n−1 。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为 25937424601=1110。
3. 打印杨辉三角形的算法原理
- 第i行元素与第i+1行元素的关系示意图：
- 从第i行的数据出队并计算出第i+1行的数据入队的示意图：
4. 利用队列实现逐行打印杨辉三角形的前n行
4.1 链表结点结构的定义
文件：LinkNode.h
#ifndef LINK_NODE_H_ #define LINK_NODE_H_ #include <iostream> #include <string> #include <strstream> using namespace std; template <class T> struct LinkNode //链表结点类的定义 { T data; //数据域 LinkNode<T> *link; //指针域——后继指针 //仅初始化指针成员的构造函数 LinkNode(LinkNode<T>* ptr = NULL){ link = ptr; } //初始化数据与指针成员的构造函数 LinkNode(const T& value, LinkNode<T>* ptr = NULL){ data = value; link = ptr; } }; #endif /* LINK_NODE_H_ */
4.2 链式队列的类定义及其操作的实现
文件：LinkedQueue.h
#ifndef LINKED_QUEUE_H_ #define LINKED_QUEUE_H_ #include "LinkNode.h" #include "Queue.h" template <class T> class LinkedQueue : public Queue<T> { public: LinkedQueue(); //构造函数 virtual ~LinkedQueue(); //析构函数 public: virtual bool getHead(T& x) const; //读取队头元素，并将该元素的值保存至x virtual bool EnQueue(const T& x); //新元素x入队 virtual bool DeQueue(T& x); //队头元素出队，并将该元素的值保存至x virtual bool IsEmpty() const; //判断队列是否为空 virtual bool IsFull() const; //判断队列是否为满 virtual void MakeEmpty(); //清空队列的内容 virtual int getSize() const; //计算队列中元素个数 public: template <class T> friend ostream& operator<<(ostream& os, const LinkedQueue<T>& q); //输出队列中元素的重载操作<< private: LinkNode<T> *front; //队头指针，即链头指针 LinkNode<T> *rear; //队尾指针，即链尾指针 }; //构造函数 template <class T> LinkedQueue<T>::LinkedQueue() : front(NULL), rear(NULL) { cout << "$ 执行构造函数" << endl; } //析构函数 template <class T> LinkedQueue<T>::~LinkedQueue() { cout << "$ 执行析构函数" << endl; MakeEmpty(); } //读取队头元素，并将该元素的值保存至x template <class T> bool LinkedQueue<T>::getHead(T& x) const { if (true == IsEmpty()) { return false; } x = front->data; return true; } //新元素x入队 template <class T> bool LinkedQueue<T>::EnQueue(const T& x) { LinkNode<T> *newNode = new LinkNode<T>(x); if (NULL == newNode) { return false; } if (NULL == front) { front = newNode; rear = newNode; } else { rear->link = newNode; rear = rear->link; } return true; } //队头元素出队，并将该元素的值保存至x template <class T> bool LinkedQueue<T>::DeQueue(T& x) { if (true == IsEmpty()) { return false; } LinkNode<T> *curNode = front; front = front->link; x = curNode->data; delete curNode; return true; } //判断队列是否为空 template <class T> bool LinkedQueue<T>::IsEmpty() const { return (NULL == front) ? true : false; } //判断队列是否为满 template <class T> bool LinkedQueue<T>::IsFull() const { return false; } //清空队列的内容 template <class T> void LinkedQueue<T>::MakeEmpty() { LinkNode<T> *curNode = NULL; while (NULL != front) //当链表不为空时，删去链表中所有结点 { curNode = front; //保存被删结点 front = curNode->link; //被删结点的下一个结点成为头结点 delete curNode; //从链表上摘下被删结点 } } //计算队列中元素个数 template <class T> int LinkedQueue<T>::getSize() const { int count = 0; LinkNode<T> *curNode = front; while (NULL != curNode) { curNode = curNode->link; count++; } return count; } //输出队列中元素的重载操作<< template <class T> ostream& operator<<(ostream& os, const LinkedQueue<T>& q) { int i = 0; LinkNode<T> *curNode = q.front; while (NULL != curNode) { os << "[" << i++ << "]" << " : " << curNode->data << endl; curNode = curNode->link; } return os; } #endif /* LINKED_QUEUE_H_ */
4.3 利用队列实现逐行打印杨辉三角形的前n行的算法实现
文件：YANGVI.h
#ifndef YANGVI_H_ #define YANGVI_H_ #include "LinkedQueue.h" void set_space(int count, int i) { cout << endl; while (i <= count + 1) { cout << " "; i++; } } template <class T> void YANGVI(LinkedQueue<T>* linkedQueue, int n) { //分行打印二项式(a+b)^n展开式的系数。 //在程序中利用了一个队列，在输出上一行系数时，将其下一行的系数预先放入队列中，在各行系数之间插入一个0。 cout << "=> 打印杨辉三角形，行数n = " << n << endl; int i = 1; int s = 0; int k = 0; int t = 0; linkedQueue->EnQueue(i); linkedQueue->EnQueue(i); for (i = 1; i <= n; i++) { set_space(n, i); linkedQueue->EnQueue(k); for (int j = 1; j <= i + 2; j++) { linkedQueue->DeQueue(t); linkedQueue->EnQueue(s + t); s = t; if (j != i + 2) { cout << s << " "; } } } cout << endl; } #endif /* YANGVI_H_ */
4.4 主函数(main函数)的实现
文件：main.cpp
#include "YANGVI.h" //判断输入的字符串每个字符是否都是数值0~9 bool IsNumber(const string& s_num) { for (size_t i = 0; i < s_num.size(); i++) { if ((s_num[i] < '0') || (s_num[i] > '9')) { return false; } } return true; } //输入行数n int get_n() { cout << "> 输入行数，n = "; string s_n; cin >> s_n; while (false == IsNumber(s_n)) { cout << "* 输入有误，请重新输入："; cin >> s_n; } return atoi(s_n.c_str()); } //构造链式队列 template <class T> LinkedQueue<T>* construct_linkedqueue() { cout << "\n==> 创建链式队列" << endl; LinkedQueue<T> *linkedQueue = new LinkedQueue<T>; return linkedQueue; } //析构链式队列 template <class T> void destory_linkedqueue(LinkedQueue<T>* linkedQueue) { cout << "\n==> 释放链式队列在堆中申请的空间，并将指向该空间的指针变量置为空" << endl; delete linkedQueue; linkedQueue = NULL; } int main(int argc, char* argv[]) { LinkedQueue<int> *linkedQueue = construct_linkedqueue<int>(); int n = get_n(); YANGVI(linkedQueue, n); destory_linkedqueue(linkedQueue); system("pause"); return 0; }
4.5 杨辉三角形打印结果
- 控制台输出，当杨辉三角形行数n=6的情况。
参考文献：
[1]《数据结构(用面向对象方法与C++语言描述)(第2版)》殷人昆——第三章
[2] 百度搜索关键字：杨辉三角
