稳定匹配问题Stable Match Problem

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问题的提出
        《算法》的第一堂课讲了关于稳定匹配（Stable Matching）的问题，这是一个由现实情况引出的一个很有趣的问题。假设说现有一堆学生准备到一堆公司实习，每个学生心目中对这些公司都有一个喜好排 序，但为了保证成功率，每个学生都向所有的公司投递了申请。公司收到学生申请后，根据各自的要求和喜好对所有学生也有一个满意度排序，并依据排序向一部分 学生发出了offer，现在假设A公司向学生X发出了offer，由于各个公司的进度不一样，在学生X接到A公司的offer后他又收到了B公司的 offer，相较而言，X更喜欢B公司，于是他决定放弃A公司的offer转投到B公司门下。由于X的离去，A公司就少了一个实习生，于是它又向待聘的学 生Y发出offer，学生Y于是放弃已经接受的公司C，转投到公司A门下，那么就这样情况开始连续失控….
   以上混乱情况的出现，在于公司和学生之间没有一个要求保持现状的强制体系，用专业的话语来讲也即是该过程不是自强化（self-reinforcing）的。大家都可以根据自己喜好随时改变自己之前做出的决定，于是整个情况开始不可控制。
   在上述情况下，提出了我们的问题：给定一组雇主E和申请人A之间的优先权，我们能否把A合理的分配给E，以使得对于每个雇主E和未分配为E工作的申请人A之间，以下两种情况至少存在其一：
1、E对于它接受的所有人都比A满意
2、A对于为他分配的公司比E满意。
   如果上述情况成立，那么这种分配就是稳定的，个人兴趣将制止申请人A和公司E之间出现幕后交易。
这里，我们引出几个概念：
1、不稳定对（unstable pair）：在以下情况同时存在的时候，申请人x和公司y是不稳定的：
A、相对已经分配好的公司，x更喜欢y；
B、相对其中一个已经录用的学生，y更喜欢x。
2、稳定分配（stable assignment）：不存在不稳定对的分配
经典的男女配对问题
   OK！马上就将进入我们今天的经典问题，给定一组男人和一组女人，每个人在心目中都对所有的异性有一个倾慕度排序，从最喜欢到最不喜欢依次排序1、2、3。现在给出问题，如何对这些男女进行配对使得在分配好后不出现偷情的现象。先看下面：

图 2

    很明显，我们会发现这样的组合是不稳定的，因为在这样的组合下Xavier—Amy或者Xavier—Bertha都有机会会出现私奔。
    OK！现在让我们将他们重新分配如下：X-A, Y-B, Z-C，如图3所示：

    问如何将这四个人两两组合得到稳定匹配呢？我们会发现无论如何组合都不会出现稳定的匹配：若A-B, C-D则B-C unstable、A-C, B-D则A-B unstable、A-D, B-C则A-C unstable！

    所以我们可以得出，在最佳室友这个问题上，稳定匹配并不总是存在的！

G—S算法提出

    经过以上的分析，我们可以给出男女匹配的算法了，这个算法叫做Propose-and-reject algorithm（求婚-拒绝算法，也叫G-S算法）【由Gale和Shaply于1962年提出】，算法的目的即使找出一个稳定匹配，算法如下：

Initially all mÎM, and w Î W are free.

while there is a man m who is free and hasn’t proposed to every woman

    Choose such a man m

    Let w be the highest-ranked woman in m’s preference list to whom m has not yet proposed

    If w is free then

         (m,w) become engaged(约会)

    Else w is currently engaged to m’ 

         If w prefers m’ to m then

                m remains free

         Else w prefers m to m’ 

                 (m,w) become engaged

                 m’ becomes free

         Endif

     Endif

Endwhile

Return the set S of engaged pairs

    对以上算法进行分析，我们会发现两个现象：1、女人从接到第一个求婚起就开始一直保持约会的状态，并且她约会的对象会越来越好（从她的排序表来看）；2、男人求婚的对象（女人）会越来越差！

算法证明

下面，我们对这个算法的正确性证明如下：

1、算法的有限性——算法最多会在执行完n2次while循环的时候结束：每次while循环，一个男人向一个女人求婚，因为一共有n个男人和n个女人，所以最多只有n2次求婚。

2、算法的完美性——所有的男女都进行了配对：（反证法）假设男人M在算法结束后没有配对，那么相应的肯定会存在一个女人假设为W也没有配对，那么可以肯 定女人W从来都没有收到求婚的请求，但是根据现象2，男人M会向所有的女人求婚一直到有人接受，那么矛盾就出现了，于是假设不成立，命题得证。

3、算法的稳定性——不存在不稳定对：（反证法）假设在GS配对里，Amy-Yancey、Bertha-Zeus分别是2对，假设A—Z是不稳定对，那 么出现这种现象有两种可能：a、Z从来没有向A求婚，根据现象2，得出Z会更喜欢他的GS对象，而不是A，那么A—Z就是稳定的；b、Z向A求过婚，但是 被A拒绝了（可能是当场拒绝，也可能是后来A遇到更好的抛弃了Z），那么也可以得出A更喜欢她的GS对象，而不是Z，所以A—Z也是稳定的。所以在任何情 况下，A—Z都是稳定的，假设不成立，命题得证。

总结

稳定匹配问题：即给定n个男人和n个女人和他们对异性的喜好排序表，如果可能，求出他们稳定的匹配。

Gale-Shapley算法：求出问题的最佳匹配对。

后续问题

1、如何有效的实现G—S算法？

2、如果有多个稳定匹配对，G—S算法选择的是哪一个？

上述问题将在下篇得到解答，呵呵。

图4

 图 3    好了，现在这样分配后，会发现男男女女们虽然对自己的配偶不一定满意，但是却无论如何找不到和他（她）情投意合的私奔对象，于是我们的分配也稳定了！

最佳室友分配问题

    牵红线的问题解决了，那我们会想到对于这类似的问题，我们的稳定匹配是不是总是存在呢？！答案是否定的！请看下面的最佳室友问题：话说有A、B、C、D四个学生，学校规定2个人一间寝室，4个人理想的舍友排序如下：

                                            图 1

     概念１：完美匹配（perfect matching）：每个男的都分到一个女的，每个女的也有一个男的，并且实行严格的一夫一妻制。

    概念2：稳定性（stability）：对于分配好的每个人都没有机会通过私自组合（私奔）来破环我们的分配。例如：假设在我们的分配中，m1和w1是一 对，m2和w2是一对，但是在他们排序表中，相较w1和w2，m1更喜欢w2，同时w2也更喜欢m1，而不是给她分配的m2，这样就出现了w1和m2更情 投意合，如是他们私奔了。这样的分配就是不稳定的了。

    概念3：稳定匹配（stable matching）：没有不稳定对（unstable pair）的完美匹配。

    现在我们再回到图1，假设给出以下组合，问是否稳定？X-C, Y-B, Z-A，即如图2所示：