匹配问题

• 匹配问题中的重要概念
• GS算法
• GS算法的几个特性

匹配问题中的重要概念

1. 匹配，假设有男人的集合M和女人的集合W，每个男人向女人W求婚，并且两个人成功组成一对，就叫做匹配。
2. 完美匹配，假设集合M和集合W的数量相同，都是n，即n个男人，n个女人，如果使用一种算法，最后所有的男人和女人成功匹配，没有一个单身的男人或者单身的女人，那么就叫做完美匹配。
3. 不稳定匹配，假设完美匹配形成了集合S，其中男人 m i m_i mi​和女人 w j w_j wj​匹配形成 ( m i , w j ) (m_i, w_j) (mi​,wj​),而另外又有男人 m k m_k mk​和女人 w l w_l wl​匹配形成 ( m k , w l ) (m_k, w_l) (mk​,wl​)，如果S的匹配中，与 w j w_j wj​比起来， m i m_i mi​更喜欢人妻 w l w_l wl​,与 m k m_k mk​比起来， w l w_l wl​更喜欢 m i m_i mi​，那么没有什么可以阻挡 m i m_i mi​抛弃当前妻子 w j w_j wj​而与 w l w_l wl​结合，形成新的一个匹配 ( m i , w l ) (m_i, w_l) (mi​,wl​)，这就说明形成的匹配S是一个不稳定的匹配，因为根据喜欢因素，这些匹配会被打破而形成新的匹配，包含这种不稳定因素的匹配叫做不稳定匹配。
4. 稳定匹配，假如最终形成的完美匹配结果是S，里面所有的女人都对当前的男人满意，或者男人对当前配对的女人满意，那么就不会出现打破原有组合形成新的匹配的可能性，此时匹配S叫做稳定匹配。
5. 有效伴侣，假如在男人集合M和女人集合W进行匹配，得到集合S，S中包含(m,w)，那么说明w是m的有效伴侣，同样的，m也是w的有效伴侣。
6. 最佳伴侣，稳定匹配可能不唯一，假如稳定匹配集合S中包含匹配(m,w), 而其他任何稳定匹配中包含 ( m , w i ) (m,w_i) (m,wi​)，而m对所有女人的喜好从高到低排序过程中，w始终在 w i w_i wi​前面，那么说明w是m的最佳伴侣,表示为best(m)。

GS算法

为了使得这种双方都有需求的匹配，最终形成一个完美的、稳定的匹配，Gale和Shapely两位科学家提出了GS算法（以他们名字首字母命名）。该算法的伪代码如下：

while(集合M中存在一个单身男子m并且该男子没有向所有女性求婚过)
	m向他没有求婚过的最心仪的女子w求婚；
	if(w处于单身状态)
		组成匹配(m,w)；
	else if(w处于匹配状态)
	{
		if(相比w的现任m1，w更加心仪m)
			w抛弃m1,和m组成匹配(m,w)
		else 
			w拒绝了m的求婚，m仍然单身。
	}
}

GS算法的while循环，最多执行 n 2 n^2 n2次，即每个m都想对心仪的女性从高到低依次求婚。进行GS算法时，一个较好的数据结构是采用两种不同的矩阵。矩阵的第i行是一个数组，数组依次从低到高罗列了男子心仪的女生编号。如下组织形式依次列出了0、1、2三位男子最心仪的三位女生，依次心仪程度依次从高到低排列。例如：

女生则是通过索引可以直接查找对男子的评分，方便比较求婚的男子是否比当前匹配的男子更令她心仪。

按照这种数据结构组织形式，GS算法的复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2);

GS算法的几个特性

1. 如果算法执行中，某个男子是单身，那么一定存在一个他还未求过婚的女子。(n对男女，某男单身，一定存在某女单身)

2. GS算法执行结束时得到的匹配集合S一定是一个完美匹配。（GS执行结束条件是不存在单身男子）

3. GS算法执行结束得到的S是一个稳定匹配。(反证法证明)

4. GS算法执行结束后，每个男子都与其最佳伴侣匹配到一起，即形成集合 S ∗ S^* S∗ = { ( m , b e s t ( m ) ) ∣ m ∈ M (m,best(m)) |m \in M (m,best(m))∣m∈M }

   • 假设GS算法执行中，首次出现了一个悲催男子 m i m_i mi​，居然被自己的最佳伴侣 w i w_i wi​给拒绝了。而这说明 m i m_i mi​向 w i w_i wi​求婚时 w i w_i wi​更加喜欢与 w i w_i wi​当前的约会对象 m j m_j mj​，或者是原本 w i w_i wi​与 m i m_i mi​匹配，但 m j m_j mj​向 w i w_i wi​求婚时， w i w_i wi​果断抛弃了 m i m_i mi​而选择了 m j m_j mj​。
   • 假设存在另外一个稳定匹配 S 1 S_1 S1​,在这里面 m i m_i mi​和 w i w_i wi​匹配到一起, m j m_j mj​和 w j w_j wj​匹配到一起。上述GS算法运行结束后 m j m_j mj​选择和 w i w_i wi​匹配到一起，而没有选择 w j w_j wj​,GS算法中男人每次都会选择当前没有求过婚的优先级最高的女性求婚，这说明 m j m_j mj​喜欢 w i w_i wi​多过喜欢 w j w_j wj​。
   • 上面的论述得到两个结论.(1) w i w_i wi​喜欢 m j m_j mj​多过喜欢 m i m_i mi​。(2) m j m_j mj​喜欢 w i w_i wi​多过喜欢 w j w_j wj​。但是( m i , w i m_i,w_i mi​,wi​)和( m j , w j m_j,w_j mj​,wj​)属于稳定匹配。结论和假设相互矛盾。因此说明GS算法执行结束后男子都和最佳伴侣匹配到一起。

5. GS算法执行结束后，每个女子都与其最差的有效伴侣匹配到一起。

   • 假设GS算法结束后存在某个女子，并没有与最差的有效伴侣匹配到一起。此时假设 m i m_i mi​与 w i w_i wi​匹配到一起，并且 m i m_i mi​不是 w i w_i wi​的最差有效伴侣。那么必然存在另外一个有效匹配，其中 m j m_j mj​与 w i w_i wi​匹配到一起， m i m_i mi​与 w j w_j wj​匹配到一起。上述假设可知(1) w i w_i wi​喜欢 m i m_i mi​多过喜欢 m j m_j mj​。在GS算法结果中假设 m i m_i mi​和 w i w_i wi​匹配到一起而没有选择 w j w_j wj​，可以得到(2) m i m_i mi​喜欢 w i w_i wi​多过喜欢 w j w_j wj​。两个结论恰好与假设存在包括( m j , w i m_j,w_i mj​,wi​)( m i , w j m_i,w_j mi​,wj​)的稳定匹配矛盾。因此原命题正确。

6. GS算法中求婚的一方可以得到最佳有效伴侣，而被求婚的一方只能得到最差的有效伴侣。