模运算——开启密码学学习之路

综述：学完高数，线性代数，概率论，数学已经学了一大半，本以为数学的知识也就到此结束，但没有想到这只是自己自欺欺人。开始看导师密码学的论文的时候，第一眼就吓傻眼，模运算mod ，没想到还有数论这种东西存在，而且用处广泛。其中《密码编码学与网络安全》书中，我就见证其用处是无处不在，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从费马定理到欧拉定理，从孙子问题到凯撒密码问题，从RSA密钥到椭圆曲线。无不充斥着模运算的身影，只怪自己是井底之蛙。于是乎要理解密码学和椭圆曲线，就得学习模运算。

基本概念：

概念：就是求余数，11 Mod 2，余数值为1；

数学上的定义：给定一个正整数p  ，任意一个整数 n（正数,负数,0都行） ，一定存在等式n = p*k+r （0≤r<n）（备注，这个式子很重要，后面许多性质都要用到这个等式） 例子：-11 mod 7 = 3；

部分且重要性质：（这里只列了几个需要证明的性质）

1.同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

2.若p|(a-b)，则a≡b (mod p)  备注：（|是整除性符号，也就是（a- b）是p的因子）

证明：令a-b=kp;那么a=kp+b1;所以a mod p = kp+b mod p =b mod ;所以a≡b (mod p)

3.结合率（(x+y )mod p +c）mod p =（x+ (y +c mod) p）mod p ;

证明：存在x= k₁p +r₁,y = k₂p+r₂;c=k₃p+r₃；则代入等式左边，等于r₁+r₂+r₃,等式右边也等于r₁+r₂+r₃ 。

4.非常重要的运算：加法逆元和乘法逆元

  定义：加法逆元 （x+y）mod p =0

   乘法逆元（x*y）mod p =1

 举例：模8加法和乘法逆元

重大运算规则：

费马定理：若p是素数，且a是正整数不能被p整除，意思是a,p 互素。

a^p-1 ≡ 1 mod p

构造素数 p 的完全剩余系 P ={1,2,3,4…p-1}

用a乘以集合中所有元素并对p去模，则得到X ={1a,2a,3a,4a…(p-1)a}

也是p的一个完全剩余系。由完全剩余系的性质，

1*2*3*…(p-1)=a*2a*3a*…a(p-1)

即 (p-1)!=(p-1)!a^p-1 (mod p)

易知  ，同余式两边可约去(p-1)!  ，得到a^p-1 ≡1 (mod p)

欧拉定理;

欧拉定理是在费马定理上进一步的扩展 所以证明和推理是 一样的，

但涉及到欧拉函数（解决给定一个正整数，在其内与它互为素数的个数）

 a^φ(n) ≡1 (mod n)

在欧拉函数中，当n为质数时，φ(n)=n-1;很好验证，比如你n=5，那么5以内有 1,2,3,4和5为互质，所以φ(5)=4；

中国剩余定理：

    听说这个定理又叫做孙子定理，比较难懂，用来简化模计算，很牛逼的一个定理，可惜看了两遍没看懂它的证明过程。

熟悉的应用：

（1）加密解密的证明

对于明文分组M和密文分组C,加密和解密过程中

C =M^e mod n;  式子（1）

M=C^d mod n;  式子（2）

其中收发双方均是已知n,发送方已知是e，只有接收方有d，公钥{e，n}，私钥{e,n},主要是为了证明如何证明式子（2），也就是接收方如何还原数据。

要证明这个M=C^d mod n=(M^e mod n)^d mod n成立，

先证明C^d mod n=(M^e mod n)^d mod  = (M^e)^d mod n

根据模的定义数学上的定义：给定一个正整数p  ，任意一个整数 n（正数,负数,0都行） ，一定存在等式n = p*k+r

令M^e =k*n+r 所以 (M^e mod n)^d mod n = r^d mod n

 (M^e)^d=(k*n+r)^d

泰勒展开，会发现除了r^d，所有项都有k*n。所以(M^e)^d mod n=(k*n+r)^d mod n =r^d mod n

所以 (M^e mod n)^d mod  = (M^e)^d mod n

接下来在证明 (M^e)^d mod n = M

因为

n = pq

e满足gcd（φ(n)，e）=1；1<e<φ(n)

ed ≡ 1 mod φ(n)；

d ≡  e^-1mod (φ(n));d和e是模φ(n)的乘法逆元

所以 (M^e)^d mod n = M^kφ(n)+1mod n=(M*M^kφ(n)) mod n

由欧拉定理得：a^φ(n)+1≡ 1 mod n

所以 (M*M^kφ(n)) mod n = M

所以 (M^e)^d mod n = M

结合之上所证明得：M=(M^e)^d mod n=(M^e mod n)^d mod=C^d mod n

所以解密的式子（2）成立。

应用（2）–解决实际问题（循环类）

以下是朋友问我的一道经典题目，当时正好想到用模数的方法解决

问题：如图4个带指针的时钟A,B,C,D，每转动一个方位时，临近的两个时钟也会随之转动方位，例如A顺时针转90°，那么B，C,也会顺时针转动90°，那么问该怎么转动四个时钟，使四个指针都朝上。

解：这个问题挺有趣的但又不能一个个去尝试，而且这个问题有一定的可循环性。

分析可得，A总的要比其他三个多转动4k+1（这里假设都是顺时针）。假设A转动a次，B转动b次，C转动c次，D转动d次。

由 （a+b+c）mod 4 = 1

（a+b+d）mod 4 = （c+b+d）mod 4 = （c+a+d）mod 4 =0

故：a+b+c = 4k+1

    a+b+d=4n

    a+c+d =4m

    b+c+d=4t

  化简： b-c =4（n-m）

         a-c=4（n-t）n-t

a-b =4（m-t）

求得其中的一个解：b =11,c= 3,a =7,d =2;