背包加密分为加法背包和乘法背包。
1、加法背包：我们知道，1<2,1+2<4,1+2+4<8,1+2+4+8<16,……，那么如果我们选择这样一些数，这些数从小到大排列，如果前面所有的数加起来的值总小于后面的数，那么这些数就可以构成一个背包，我们给一个这个背包里面的某些数的和，这个数就是被加密的数，由这个背包组成这个数只有一种组合方式，这个方式就是秘密了，例如给大家一个封包（2，3，6，12，24，48），由这个背包里的某些数构成的数：86，你知道86怎么来的吗？当然，你看着背包里面的内容，可以知道是由2+12+24+48得到的，如果你没有这个背包，而是直接得到这个86，你知道组成这个86的最小的数是多少吗？你无法知道，因为加起来等于86的数非常多：85+1=86，84+2=86等等，你是无法知道的，所以，背包加密非常难破。
2、乘法背包：乘法背包比加法背包更复杂，不仅是运算量大了很多，更重要的是你得到的一个被加密了的数据更大，一般都是上亿的，而且在许多机密的机关里面，背包的数据都不是有这个单位，而是用位。我们知道，1<2,1*2<3,1*2*3<7,1*2*3*7<43,1*2*3*7*42<1765,数字的增长还是很快的，之所以复杂，就是因为数字很大啊！背包的特点是：如果背包里面的数据按小到大排列，那么，前面所有数据的乘积小于后面的任何一个元素，这个就是背包的特点，是不是很简单，但是要知道乘积的数字的增长是非常快的！
应用领域：
很多数据都需要加密，例如银行的数据、网络游戏、军事机构、行政机构以及其他重要场所。不过虽然这种加密效果非常好，但是加密的程度太大也不现实，一般不会有非常复杂的加密，如果一个数据就几百位，而且还用非常规进制，那么可以想象电脑要算多久啊，会多么影响速度啊！
公钥算法之背包算法
这是一个非对称算法，即可生成多个不同的公钥，分发给其他人，然后其他人用各自的公钥加密文件，而算法只生成一个私钥（自己保存），这私钥可解密不同公钥加密的文件。在不知道私钥的前提下，破解文件是一个NP难问题。
下面贴上高老师的讲义：
1.背包算法基于背包问题的简化版，即子集和问题（
Subset sum）。 2.子集和问题：给定一个整数集
A（俗称为背包）和整数
b，要求找出
A的一个子集，使得其中元素之和等于
b。 3.子集和问题是
NP完全问题。然而若集合
A是一个超级增长序列（
Superincreasing），则可以使用简单的贪婪策略在多项式时间求解。 4.超级增长序列指集合中后一个元素大于前面所有元素之和。如 {2, 7, 11, 21, 42, 89, 180, 354}。 算法流程： 选择一个超级增长序列
w
= (
w
1,
w
2, …,
wn
) ，以及一个随机数
q
，满足
q
>
∑
w
i ，以及另一个随机数
r，使得
q和
r互素，即 gcd(
r
,
q
) = 1 。 公钥计算：算集合
β
= (
β
1,
β
2, …,
β
n) ，其中β
i = (
r
×
w
i ) mod q，公钥就是
β，私钥就是 (
w
,
q
,
r
)。
•加密：给定
n位二进制信息α
= (
α
1,
α
2, …,
α
n), 利用公钥β
= (
β
1,
β
2, …,
β
n)计算如下：
C=
∑α
i *
β
i ，
C即密文 解密：解密的关键是利用
(
w
,
q
,
r
)求出的逆元
s
。此即求解方程：
s*r
mod
q
=1。即满足
sr
=
kq
+ 1 。由于
gcd(
r
,
q
)=1，所以可以使用扩展欧几里德算法找出
s
和
k
。
附上自己的代码：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 | /*该程序加解密文本长度最多为16个二进制位(包括16字节)，即2字节*/ #include <stdio.h> #define N 30 bool text[N],detext[N]; //储存待加密文本和解密文本 int n,pubkey[N]; //公钥β int w[N]; //超级增长序列 typedef struct Tri //三元组结构体 { int d,x,y; }Tri; Tri Extend_Euclid( int a, int b) //扩展欧几里德算法 { Tri t1,t2; if (b==0) { t1.d=a,t1.x=1,t1.y=0; //(a,1,0) return t1; } //(d,x,y)←(d',y',x'-a/b*y') t2=Extend_Euclid(b,a%b); t1.d=t2.d; t1.x=t2.y; t1.y=t2.x-a/b*t2.y; return t1; } void Create_Super_Growth() //创建超级增长序列 { int i,sum=0; for (w[0]=1,i=1;i<N;i++) sum+=w[i-1]+1,w[i]=sum; return ; } int Encode( int q, int r) //加密 { int i,c=0; printf ( "公钥序列：\n" ); for (i=0;i<n;i++) //计算公钥β { pubkey[i]=w[i]*r%q; printf ( "%d: %d\n" ,i,pubkey[i]); } for (i=0;i<n;i++) //加密文本 c=(c+text[i]*pubkey[i])%q; return c; } void Decode( int q, int r, int c) //解密 { int i; __int64 k,s; //防止k=c*s%q结果溢出 Tri t; for (i=0;i<n;i++) detext[i]=0; t=Extend_Euclid(r,q); //扩展欧几里德求r逆元 s=t.x; while (s<0) s+=q; //把负逆元转换为正逆元 printf ( "r逆元：%d\n" ,s); //开始解密 k=s*c%q; printf ( "k=%d\n" ,k); for (i=n-1;i>=0;i--) //贪心策略解子集合问题，解密出二进制文本 if (k>=w[i]) k-=w[i],detext[i]++; return ; } int main() { //随机选择q和r,q>w序列1到n范围内元素之和，q和r要互素 int i,c,q=0,r; //r为乘数,q为模数 Tri t; Create_Super_Growth(); //创建超级增长序列 for (i=0;i<16;i++) //假设q=w[0]+...+w[15]+1，即加密长度不超过16byte q+=w[i]; q++; for (i=2;;i++) //寻找第一个与q互数r(不一定要第一个) { t=Extend_Euclid(q,i); if (t.d==1) {r=i; break ;} } // freopen("公钥算法之背包算法.txt","r",stdin); while ( scanf ( "%d" ,&n)!=EOF) { for (i=0;i<n;i++) scanf ( "%d" ,&text[i]); //二进制待加密文本 c=Encode(q,r); //加密，得到密文 printf ( "密文：%d\n" ,c); Decode(q,r,c); //解密 printf ( "解密后文本：\n" ); for (i=0;i<n;i++) printf ( "%d " ,detext[i]); printf ( "\n" ); } return 0; } |
样例输入：
16 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0
样例输出：
公钥序列：
0: 3
1: 6
2: 15
3: 33
4: 69
5: 141
6: 285
7: 573
8: 1149
9: 2301
10: 4605
11: 9213
12: 18429
13: 36861
14: 73725
15: 49165
密文：20743
r逆元：32763
k=39677
解密后文本：
1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0
