（注：本文仅供学习，转载或者拷贝引起的一切后果自负，本文部分内容翻译并参考自：《An Introduction to Mathematical Cryptography》（Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, Joseph H. Silverman））

上一篇介绍了同余公钥密码体制，本篇笔者将介绍另一个经典的密钥体制–背包公钥密码体制。在介绍该问题之前，先介绍下子集和问题。

1、子集和问题

假设在整数域上有集合S=｛a,b,c,d,e,f…..｝和一个整数sum。那么找到集合S的一个子集SubS，该子集满足：该子集中的所有元素相加恰好为sum。比如S=｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，sum=15，那么我们可以找到其子集SubS={7,8}或者｛1，6，8｝等等，这样的一个问题就是子集和问题。

子集合问题是NP完备问题（NP-complete problem），其求解是非常困难的（刚刚笔者所给的例子是一种比较简单的情况，读者请不要误以为该问题很好解决）。

我们考虑，子集和问题是否有所谓的特殊情况，而且这种特殊情况我们和容易去求解呢？答案是肯定的。

这里我们将讨论下超递增序列（superincreasing sequence）。即集合S是超递增的，那么什么是超递增序列呢？首先我们给出超递增序列的定义。超递增序列指的是这样的一个集合，其中。

超递增序列具有什么好处呢？由其定义，我们可以知道它具有这样的一个性质：。这个性质对于求解子集和问题是多有帮助呢？笔者下面通过一个例子来给大家演示下超递增序列的子集和问题的解决办法。

 例1：对于超递增序列M=｛3，11，24，50，115｝，和Sum=142。求解该子集和问题。

Step 1：142-115=27>0，故115被选中；

Step 2：27-50<0，故50不选；

Step 3：27-24=3>0,故24选中；

Step 4：3-11<0，故11不选；

Step 5：3-3=0，故3选中，算法结束，找到子集。

综上过程，得到的子集为SubS={3，24，115}。验证正确。

那么该如何将这个问题变成一个可用的密码体制？我们只需要将一个超递增序列通过一些运算得到一个非超递增序列（简单的说，就是将超递增序列伪装成非递增序列）。下面我们来介绍由这个问题产生的背包公钥密码体制。

2、背包公钥密码体制

通过上面的介绍，我们对于子集和问题有了一定的认识。那么该如何伪装？

和以前一样，我们先通过一个例子来大概了解下。

例2：有超递增序列r={3,11,24,50,115}，Alice选择A=113，B=250。然后Alice通过下面的运算来伪装该超递增序列r。

M=113r (mod 250)={89，243，212，150，245}。显然M不是一个超递增序列了。M就是公钥。

现在Bob要发送一个消息给Alice，这里我们假设消息内容x={1,0,1,0,1}（是一个二元字符串）。然后S=xM=1*89+0*243+1*212+0*150+1*245=546。S即为密文。

Alice接收到Bob发送的密文S后，解密过程如下：。再通过超递增序列，我们即可解密得到明文x了。

下面给出该密钥体制过程的描述。

（1）Alice：选择一个超递增序列，选择A和B，其中且gcd(A,B)=1。下面计算，。得到公钥。

（2）Bob：二元对字符串明文x，用Alice的公钥计算S=x*M。S是密文。

（3）Alice解密：计算，再用超递增序列的子集和问题解法求解，得到一个解x，该解即是明文。

给出该公钥密码体制的JAVA实现。

import java.math.BigDecimal;
import java.math.BigInteger;

public class KnapsackCryptosystems {
	private final int MAX = 10;
	BigInteger[] SuperSet = new BigInteger[MAX];
	BigInteger[] PublicKeySet = new BigInteger[MAX];// 公钥
	BigInteger A, B;

	public void GenerateSetAndPublicKey() {
		SuperSet[0] = (new BigDecimal("10").multiply(new BigDecimal(Math
				.random() + "")).add(BigDecimal.ONE)).toBigInteger();
		for (int i = 1; i < MAX; i++) {
			SuperSet[i] = (SuperSet[i - 1].multiply(new BigInteger("2"))
					.add(new BigDecimal("10")
							.multiply(new BigDecimal(Math.random() + ""))
							.add(BigDecimal.ONE).toBigInteger()));
		}
		B = (SuperSet[MAX - 1].multiply(new BigInteger("2"))
				.add(new BigDecimal("10")
						.multiply(new BigDecimal(Math.random() + ""))
						.add(BigDecimal.ONE).toBigInteger()));

		A = SuperSet[MAX - 1];
		while (true) {
			A = A.subtract(BigInteger.ONE);
			if (B.gcd(A).equals(BigInteger.ONE)) {
				break;
			}
		}
		for (int i = 0; i < MAX; i++) {
			PublicKeySet[i] = A.multiply(SuperSet[i]).mod(B);
		}
	}

	public BigInteger encrypt(String x) {
		BigInteger S = BigInteger.ZERO;
		for (int i = x.length(); i < MAX; i++) {
			x = x.concat("0");
		}

		for (int i = 0; i < MAX; i++) {
			if (x.charAt(i) == '1')
				S = S.add(PublicKeySet[i]);
		}
		return S;
	}

	public String decrypt(BigInteger S) {
		BigInteger S1;
		String x = "";
		S1 = A.modInverse(B).multiply(S).mod(B);
		int num = MAX;
		while (true) {
			if (S1.subtract(SuperSet[num - 1]).signum() > 0) {
				S1 = S1.subtract(SuperSet[num - 1]);
				x = "1".concat(x);
			} else if (S1.subtract(SuperSet[num - 1]).signum() == 0) {
				x = "1".concat(x);
				break;
			} else {
				x = "0".concat(x);
			}
			num--;
		}
		if (num != 0) {
			for (int i = 0; i < num - 1; i++)
				x = "0".concat(x);
		}
		return x;

	}

	public static void main(String args[]) {
		KnapsackCryptosystems kc = new KnapsackCryptosystems();
		kc.GenerateSetAndPublicKey();
		System.out.println("随机产生的公钥：");
		System.out.print("(");
		for (int i = 0; i < kc.MAX - 1; i++)
			System.out.print(kc.PublicKeySet[i] + ",");
		System.out.println(kc.PublicKeySet[kc.MAX - 1] + ")");
		// 随机产生5组消息
		for (int j = 0; j < 5; j++) {
			String x = "";
			for (int i = 0; i < kc.MAX; i++) {
				if (Math.random() < 0.5) {
					x = x.concat("1");
				} else
					x = x.concat("0");
			}
			// 加密x信息，得到密文S
			System.out.println("第" + (j + 1) + "组随机产生的明文： " + x);
			String S = kc.encrypt(x).toString();
			System.out.println("加密得到的密文：" + S);
			System.out.println("解密得到的明文" + kc.decrypt(new BigInteger(S)));
		}
	}
}

注：上述代码用了随机的明文进行测试，且代码只针对二元字符串进行加密处理，将文本用Huffman编码转换成二进制后分段处理，这里笔者不再实现，本程序仅供参考。

上述代码的运行结果如下：

笔者水平有限，难免存在不足，欢迎批评交流！