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A*算法
1 前言
\qquad 八数码问题可以说得上是搜索问题中比较经典的，可以有很多种搜索策略，比如说有最常见的BFS，DFS，此外，A也是一个比较普遍的搜索算法。在八数码问题A往往可以得到最优的求解路径。（再也不用担心不会拼图了，哈哈哈
2 简介
\qquad 可能还有很多没有对A很深的理解，以下是自己的一些小看法。
\qquad A算法作为启发式搜索的一种，第一个必不可少是启发式函数；同时作为A*算法的比较显著的一个特点就是对open表和close表的维护.
2.1 启发式函数 f(n) = g(n) + h(n)
\qquad 启发式函数听起来很有学问，其实可以很简单的理解为从源点到目标的所需要消耗的总代价f(n)（和适应度函数比较相像），这个总代价可以分成两个部分从源点到中间节点（搜索的中间状态）已经消耗的实际代价g（n），另一个部分就是对从中间节点到目标的预测h(n)。
\qquad 通常来说，这里的代价一般是指各种距离，像欧式距离，曼哈顿距离等等，这个根据你所求解的实际问题决定。
\qquad 另一个值得指出的就是预测，预测值直接影响了问题求解的效率以及能否求得合理的解。这里给出一个结论：对于任意预测值h(n）均小于等于实际值的话，我们可以说最终解就是问题的最优解。
2.2 open表与close表的维护
open表：先可以简单认为是一个未搜索节点的表
close表：先可以简单认为是一个已完成搜索的节点的表（即已经将下一个状态放入open表内）
\qquad 为什么说是简单认为呢？理由很简单，因为open表与close表中的元素在一定规则下可以相互转化，最终实现搜到解。
\qquad 规则一：对于新添加的节点S（open表和close表中均没有这个状态），S直接添加到open表中
\qquad 规则二：对于已经添加的节点S（open表或者close表中已经有这个状态），若在open表中，与原来的状态 S 0 S_{0} S0的f(n)比较，取最小的一个。若在close表中，那就分成两种情况，第一种,close表中的该状态 S 0 S_{0} S0的f(n)大于S的，不做修改；第二种 S 0 S_{0} S0的f(n)小于S的,那就要需要将close表中 S 0 S_{0} S0的f(n)更新，同时将该状态移入到open表中。
\qquad 规则三：下一个搜索节点的选择问题，选取open表中f(n)的值最小的状态作为下一个待搜索节点
\qquad 规则四：每次需要将带搜索的节点下一个所有的状态按照规则一二更新open表,close表，搜索完该节点后，移到close表中。
2.3 实例演示
按照上述规则我们来体验一次简单的A*算法
- A添加到open表中，更新A的f(n)为10
open 表 ：A(10)
close表 ：null - 将B,C,D按照规则一添加到open表中，更新好B,C,D的f（n）后，将A移到close表中
open 表 ：B(13) C(18) D(20)
close表 ：A(10) - 依据规则三，选取节点B作为下一个节点，同理将E,F移到open表，B移到close表
open 表 ：C(18) D(20) E(12) F(14)
close表 ：A(10) B(13) - 依据规则三，选取E作为下一个节点，同理将G移到open表，E移到close表
open 表 ：C(18) D(20) F(14) G(15)
close表 ：A(10) B(13) E(12) - 依据规则三，选取F作为下一个节点，按照规则二G(13) < G(15) 更新open表中的G。F移到close表
open 表 ：C(18) D(20) G(13)
close表 ：A(10) B(13) E(12) F(14) - 继续搜索直至发现目标状态f（n）为open表中最小值
3 八数码问题
这里需要说明的A能找到的解是局部最优解，但是独特的启发式函数可以使得解为全局最优解，八数码问题就是一个能通过A求得最优解的问题。
像下图所示，通过将数字位向空格位移动直至将棋盘从初始状态变化到目标状态。
4 问题分析
- 启发式函数的确定
h(n):已经移动的步数
g(n):此状态与目标状态九宫格中相异数字的个数 - 状态保存
\qquad A*算法有个很大的问题就是消耗内存资源，我们可以用char型数据保存，这里我另一种保存策略：用一个long int数值表示，方法如下
0-8九个状态可以四位二进制数来表示0000B-1000B,所以九个状态就可以用36个二进制位来表示，然后这36位二进制数就可以用一个long int型数据来表示，这样增加编码和解码工作，不过操作很风骚，位运算很好实现，只是这是后来想到的，没有实现 - 算法优化
\qquad 在找最小值的时候，我们可以用二分查找，o(n)优化到o(logn)，这就要求我们再插入时顺序插入，因为查询次数是要大于添加open\close表项的，所以这个方法是可以优化执行效率的 - 无解情况
\qquad 将九宫格变成线性后，计算初始状态和目标状态的奇偶性是否一致，一致有解，否则无解。
5 代码实现
#include <iostream>
#include <vector>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#define maxState 10000
#define N 3
using namespace std;
bool isEqual(int a[N][N][maxState],int b[N][N],int n)
{
for(int i = 0;i < N;i ++){
for(int j = 0;j < N;j ++){
if(a[i][j][n] != b[i][j]) return false;
}
}
return true;
}
bool isEqual(int a[N][N],int b[N][N])
{
for(int i = 0;i < N;i ++){
for(int j = 0;j < N;j ++){
if(a[i][j] != b[i][j]) return false;
}
}
return true;
}
int evalute(int state[N][N],int target[N][N])
{
int num = 0;
for(int i = 0;i < N;i ++){
for(int j = 0;j < N;j ++)
if(state[i][j] != target[i][j]) num ++;
}
return num;
}
void findBrack(int a[N][N],int x,int y)
{
for(int i = 0;i < N;i ++){
for(int j = 0;j < N;j ++){
if(a[i][j] == 0) {
x = i;y = j;return;
}
}
}
}
bool move(int a[N][N],int b[N][N],int dir)
{
//1 up 2 down 3 left 4 right
int x = 0,y = 0;
for(int i = 0;i < N;i ++){
for(int j = 0;j < N;j ++){
b[i][j] = a[i][j];
if(a[i][j] == 0) {
x = i;y = j;
}
}
}
if(x == 0 && dir == 1) return false;
if(x == N-1 && dir == 2) return false;
if(y == 0 && dir == 3) return false;
if(y == N-1 && dir == 4) return false;
if(dir == 1){b[x-1][y] = 0;b[x][y] = a[x-1][y];}
else if(dir == 2){b[x+1][y] = 0;b[x][y] = a[x+1][y];}
else if(dir == 3){b[x][y-1] = 0;b[x][y] = a[x][y-1];}
else if(dir == 4){b[x][y+1] = 0;b[x][y] = a[x][y+1];}
else return false;
return true;
}
void statecpy(int a[N][N][maxState],int b[N][N],int n)
{
for(int i = 0;i < N;i ++){
for(int j = 0;j < N;j ++){
a[i][j][n] = b[i][j];
}
}
}
void getState(int a[N][N][maxState],int b[N][N],int n)
{
for(int i = 0;i < N;i ++){
for(int j = 0;j < N;j ++){
b[i][j] = a[i][j][n];
}
}
}
void statecpy(int a[N][N],int b[N][N])
{
for(int i = 0;i < N;i++){
for(int j = 0;j < N;j++)
a[i][j] = b[i][j];
}
}
int checkAdd(int a[N][N][maxState],int b[N][N],int n)
{
for(int i = 0;i < n;i ++){
if(isEqual(a,b,i)) return i;
}
return -1;
}
int Astar(int a[N][N][maxState],int start[N][N],int target[N][N],int path[maxState])
{
bool visited[maxState] = {false};
int fitness[maxState] = {0};
int passLen[maxState] = {0};
int curpos[N][N];
statecpy(curpos,start);
int id = 0,Curid = 0;
fitness[id] = evalute(curpos,target);
statecpy(a,start,id++);
while(!isEqual(curpos,target)){
for(int i = 1;i < 5;i ++){//向四周找方向
int tmp[N][N] = {0};
if(move(curpos,tmp,i)){
int state = checkAdd(a,tmp,id);
if(state == -1){//not add
path[id] = Curid;
passLen[id] = passLen[Curid] + 1;
fitness[id] = evalute(tmp,target) + passLen[id];
statecpy(a,tmp,id++);
}else{//add
int len = passLen[Curid] + 1,fit = evalute(tmp,target) + len;
if(fit < fitness[state]){
path[state] = Curid;
passLen[state] = len;
fitness[state] = fit;
visited[state] = false;
}
}
}
}
visited[Curid] = true;
//找到适应度最小的最为下一个带搜索节点
int minCur = -1;
for(int i = 0;i < id;i ++)
if(!visited[i] && (minCur == -1 || fitness[i] < fitness[minCur])) minCur = i;
Curid = minCur;
getState(a,curpos,Curid);
if(id == maxState) return -1;
}
return Curid;
}
void show(int a[N][N][maxState],int n)
{
cout << "-------------------------------\n";
for(int i = 0;i < N;i ++){
for(int j =0;j < N;j ++){
cout << a[i][j][n] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << "-------------------------------\n";
}
int calDe(int a[N][N])
{
int sum = 0;
for(int i = 0;i < N*N;i ++){
for(int j = i+1;j < N*N;j ++){
int m,n,c,d;
m = i/N;n = i%N;
c = j/N;d = j%N;
if(a[c][d] == 0) continue;
if(a[m][n] > a[c][d]) sum ++;
}
}
return sum;
}
void autoGenerate(int a[N][N])
{
int maxMove = 50;
srand((unsigned)time(NULL));
int tmp[N][N];
while(maxMove --){
int dir = rand()%4 + 1;
if(move(a,tmp,dir)) statecpy(a,tmp);
}
}
int main()
{
int a[N][N][maxState] = {0};
int start[N][N] = {1,2,3,4,5,6,7,8,0};
autoGenerate(start);
cout << start[0][0] << start[1][1];
// int start[N][N] = {4,0,5,1,2,3,7,8,6};
int target[N][N] = {1,2,3,4,5,6,7,8,0};
if(!(calDe(start)%2 == calDe(target)%2)){
cout << "无解\n";
return 0;
}
int path[maxState] = {0};
int res = Astar(a,start,target,path);
if(res == -1){
cout << "达到最大搜索能力\n";
return 0;
}
int shortest[maxState] = {0},j = 0;
while(res != 0){
shortest[j++] = res;
res = path[res];
}
cout << "第 0 步\n";
show(a,0);
for(int i = j - 1;i >= 0;i --){
cout << "第 " << j-i << " 步\n";
show(a,shortest[i]);
}
return 0;
}
