1．问题描述
大整数运算是现代密码学算法实现的基础，重要性不言而喻。大整数我们指的是二进制位512、1024和2048的数，一般的语言不支持。
2．基本要求
以类库头文件的形式实现。
3．实现提示
在选择了大整数的存储结构之后，主要实现以下运算：
① 模加；
② 模减；
③ 模乘；
④ 模整除；
⑤ 模取余。这五种运算模拟手算实现。
⑥ 幂模：利用“平方-乘法”算法实现。
⑦ GCD：利用欧几里得算法实现。
⑧ 乘法逆: 利用扩展的欧几里得算法实现。
⑨ 素数判定与生成：概率性素数产生方法产生的数仅仅是伪素数，其缺点在于，尽管其产生合数的可能性很小，但是这种可能性仍然存在:其优点是产生的伪素数没有规律性，而且产生的速度也比较快。此类方法是生成大素数的主要方法，其中较著名的算法有:Miller Rabin算法、Solovay-Strassen算法等。本文讨论Miller Rabin算法。
Miller Rabin素性测试法是在实际中应用非常广的一种素性测试方案，可以用来判定某随机数是否为素数。其定义如下:
设n>2是一个奇数，设n-1=2sm，其中s是非负整数，m>0是奇数，设0<b<n，如果
bm≡－1(mod n)，
或者存在一个r,0≤r<s，使得
b 2^r m≡－1(modn)
则称n通过以b为基的Miller-Rabin测试。
可以利用Miller-Rabin素性测试算法来随机生成大素数，随即生成一个奇数n>2，随即均匀的选取序列b1,b2…,bk∈{1,2,…,n-1}，对n进行k次Miller-Rabin素性测试，如果每次输出都为“n可能是素数”，则n是合数的概率小于 1/4k当k足够大时，1/4k是一个十分小的数。
同学们在具体实现时，为了提高速度最好以空间换时间，在主程序运行前先构造一个大素数表。
代码如下：
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>//reverse函数所需添加的头文件
using namespace std;
/*
大整数类
*/
class BigInt
{
private:
inline int compare(string s1, string s2)
{
if(s1.size() < s2.size())
return -1;
else if(s1.size() > s2.size())
return 1;
else
return s1.compare(s2);
}
public:
bool flag;//true表示正数，false表示负数，0默认为正数
string values;//保存所有位上的数字
BigInt():values("0"),flag(true){};//构造函数
BigInt(string str)//类型转换构造函数(默认为正整数)
{
values = str;
flag = true;
}
public:
friend ostream& operator << (ostream& os, const BigInt& bigInt);//重载输出操作符
friend istream& operator>>(istream& is, BigInt& bigInt);//输入操作符重载
BigInt operator+(const BigInt& rhs);//加法操作重载
BigInt operator-(const BigInt& rhs);//减法操作重载
BigInt operator*(const BigInt& rhs);//乘法操作重载
BigInt operator/(const BigInt& rhs);//除法操作重载
BigInt operator%(const BigInt& rhs);//求余操作重载
};
/*
重载流提取运算符'>>'，输出一个整数
*/
ostream& operator << (ostream& os, const BigInt& bigInt)
{
if (!bigInt.flag)
{
os << '-';
}
os << bigInt.values;
return os;
}
/*
重载流插入运算符'>>'，输入一个正整数
*/
istream& operator >> (istream& is, BigInt& bigInt)
{
string str;
is >> str;
bigInt.values = str;
bigInt.flag = true;
return is;
}
/*
两个正整数相加
*/
BigInt BigInt::operator+(const BigInt& rhs)
{
BigInt ret;
ret.flag = true;//正整数相加恒为正数
string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
//处理特殊情况
if (lvalues == "0")
{
ret.values = rvalues;
return ret;
}
if (rvalues == "0")
{
ret.values = lvalues;
return ret;
}
//调整s1与s2的长度
unsigned int i, lsize, rsize;
lsize = lvalues.size();
rsize = rvalues.size();
if (lsize < rsize)
{
for (i = 0; i < rsize - lsize; i++)//在lvalues左边补零
{
lvalues = "0" + lvalues;
}
}
else
{
for (i = 0; i < lsize - rsize; i++)//在rvalues左边补零
{
rvalues = "0" + rvalues;
}
}
//处理本质情况
int n1, n2;
n2 = 0;
lsize = lvalues.size();
string res = "";
reverse(lvalues.begin(), lvalues.end());//颠倒字符串，以方便从低位算起计算
reverse(rvalues.begin(), rvalues.end());
for (i = 0; i < lsize; i++)
{
n1 = (lvalues[i] - '0' + rvalues[i] - '0' + n2) % 10;//n1代表当前位的值
n2 = (lvalues[i] - '0' + rvalues[i] - '0' + n2) / 10;//n2代表进位
res = res + char(n1 + '0');
}
if (n2 == 1)
{
res = res + "1";
}
reverse(res.begin(), res.end());
ret.values = res;
return ret;
}
/*
两个正整数相减
*/
BigInt BigInt::operator-(const BigInt& rhs)
{
BigInt ret;
string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
//负数减负数
if(flag==false&&rhs.flag==false)
{
string tmp = lvalues;
lvalues = rvalues;
rvalues = tmp;
}
//负数减正数
if(flag==false&&rhs.flag==true)
{
BigInt res(lvalues);
ret=res+rhs;
ret.flag = false;
return ret;
}
if(flag==true&&rhs.flag==false)
{
BigInt rel(lvalues),res(rhs.values);
ret=rel+res;
ret.flag = true;
return ret;
}
//处理特殊情况
if (rvalues == "0")
{
ret.values = lvalues;
ret.flag = true;
return ret;
}
if (lvalues == "0")
{
ret.values = rvalues;
ret.flag = false;
return ret;
}
//调整s1与s2的长度
unsigned int i, lsize, rsize;
lsize = lvalues.size();
rsize = rvalues.size();
if (lsize < rsize)
{
for (i = 0; i < rsize - lsize; i++)//在lvalues左边补零
{
lvalues = "0" + lvalues;
}
}
else
{
for (i = 0; i < lsize - rsize; i++)//在rvalues左边补零
{
rvalues = "0" + rvalues;
}
}
//调整使‘-’号前边的数大于后边的数
int t = lvalues.compare(rvalues);//相等返回0，str1<str2返回负数，str1>str2返回正数
if (t < 0)
{
ret.flag = false;
string tmp = lvalues;
lvalues = rvalues;
rvalues = tmp;
}
else if (t == 0)
{
ret.values = "0";
ret.flag = true;
return ret;
}
else
{
ret.flag = true;
}
//处理本质情况
unsigned int j;
lsize = lvalues.size();
string res = "";
reverse(lvalues.begin(), lvalues.end());//颠倒字符串，以方便从低位算起计算
reverse(rvalues.begin(), rvalues.end());
for (i = 0; i < lsize; i++)
{
if (lvalues[i] < rvalues[i])//不足，向前借一维
{
j = 1;
while(lvalues[i+j] == '0')
{
lvalues[i+j] = '9';
j++;
}
lvalues[i+j] -= 1;
res = res + char(lvalues[i] + ':' - rvalues[i]);
}
else
{
res = res + char(lvalues[i] - rvalues[i] + '0');
}
}
reverse(res.begin(), res.end());
res.erase(0, res.find_first_not_of('0'));//去掉前导零
ret.values = res;
return ret;
}
/*
两个正整数相乘
*/
BigInt BigInt::operator*(const BigInt& rhs)
{
BigInt ret;
string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
//处理0或结果正负
if (lvalues == "0" || rvalues == "0")
{
ret.values = "0";
ret.flag = true;
return ret;
}
if(flag==false||rhs.flag==false)
{
ret.flag=false;
}
//处理特殊情况
unsigned int lsize, rsize;
lsize = lvalues.size();
rsize = rvalues.size();
string temp;
BigInt res, itemp;
//让lvalues的长度最长
if (lvalues < rvalues)
{
temp = lvalues;
lvalues = rvalues;
rvalues = temp;
lsize = lvalues.size();
rsize = rvalues.size();
}
//处理本质情况
int i, j, n1, n2, n3, t;
reverse(lvalues.begin(), lvalues.end());//颠倒字符串
reverse(rvalues.begin(), rvalues.end());
for (i = 0; i < rsize; i++)
{
temp = "";
n1 = n2 = n3 = 0;
for (j = 0; j < i; j++)
{
temp = temp + "0";
}
n3 = rvalues[i] - '0';
for (j = 0; j < lsize; j++)
{
t = (n3*(lvalues[j] - '0') + n2);
n1 = t % 10;//n1记录当前位置的值
n2 = t / 10;//n2记录进位的值
temp = temp + char(n1 + '0');
}
if (n2)
{
temp = temp + char(n2 + '0');
}
reverse(temp.begin(), temp.end());
itemp.values = temp;
res = res + itemp;
}
ret.values = res.values;
return ret;
}
/*
两个正整数相除
*/
BigInt BigInt::operator/(const BigInt& rhs)
{
BigInt ret;
string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
string quotient;
string temp;
//处理特殊情况
if(rvalues == "0")
{
ret.values = "error";//输出错误
ret.flag = true;
return ret;
}
if(lvalues == "0")
{
ret.values = "0";
ret.flag = true;
return ret;
}
if(compare(lvalues, rvalues) < 0)
{
ret.values = "0";
ret.flag = true;
return ret;
}
else if(compare(lvalues, rvalues) == 0)
{
ret.values = "1";
ret.flag = true;
return ret;
}
else
{
//处理本质情况
unsigned int lsize, rsize;
lsize = lvalues.size();
rsize = rvalues.size();
int i;
if(rsize > 1) temp.append(lvalues, 0, rsize-1);
for(i = rsize - 1; i < lsize; i++)
{
temp = temp + lvalues[i];
//试商
for(char c = '9'; c >= '0'; c--)
{
BigInt t = (BigInt)rvalues * (BigInt)string(1, c);
BigInt s = (BigInt)temp - t;
if(s.flag == true)
{
temp = s.values;
quotient = quotient + c;
break;
}
}
}
}
//去除前导零
quotient.erase(0, quotient.find_first_not_of('0'));
ret.values = quotient;
ret.flag = true;
return ret;
}
/*
两个正整数取余
*/
BigInt BigInt::operator%(const BigInt& rhs)
{
BigInt ret,kj(values),ki(rhs.values);
string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
string quotient;
string temp;
//处理特殊情况
if(rvalues == "0")
{
ret.values = "error";//输出错误
ret.flag = true;
return ret;
}
if(lvalues == "0")
{
ret.values = "0";
ret.flag = true;
return ret;
}
if(compare(lvalues, rvalues) < 0)
{
if(flag==false)
{
ret.values=(ki-kj).values;
ret.flag = true;
return ret;
}else{
ret.values = lvalues;
ret.flag = true;
return ret;
}
}
else if(compare(lvalues, rvalues) == 0)
{
ret.values = "0";
ret.flag = true;
return ret;
}
else
{
//处理本质情况
unsigned int lsize, rsize;
lsize = lvalues.size();
rsize = rvalues.size();
int i;
if(rsize > 1) temp.append(lvalues, 0, rsize-1);
for(i = rsize - 1; i < lsize; i++)
{
if(temp=="0"){
temp=lvalues[i];
}else{
temp = temp + lvalues[i];
}
//试商
for(char c = '9'; c >= '0'; c--)
{
BigInt t = (BigInt)rvalues * (BigInt)string(1, c);
BigInt s = (BigInt)temp - t;
if(s.flag == true)
{
//cout<<s.values<<endl;
temp = s.values;
quotient = quotient + c;
break;
}
}
}
}
//去除前导零
quotient.erase(0, quotient.find_first_not_of('0'));
ret.values = temp;
ret.flag = true;
return ret;
}
/*
一个大整数和一个小整数的取余
int divMod(string ch,int num)
{
int s=0;
for(int i=0;ch[i]!='\0';i++)
s=(s*10+ch[i]-'0')%num;
return s;
}*/
/*
欧几里德求GCD
*/
BigInt gcd(BigInt a,BigInt b)
{
BigInt stemp;
//cout<<a<<endl;
//cout<<b<<endl;
if((a-b).flag==false)//判断大小
{
stemp.values=a.values;
a.values=b.values;
b.values=stemp.values;
}
if(b.values=="0") return a;
else return gcd(b,a%b);
}
/*
快速幂
*/
BigInt fast(BigInt a,BigInt b)
{
BigInt aa=a,t("1"),k("2");
// int b2=atoi(b1[lsize-1].c_str());
while(b.values!="0")
{
if((b%k).values!="0")
{
t=t*aa;
}
aa=aa*aa;
b=b/k;
}
return t;
}
/*
快速幂模
*/
BigInt mod_fast(BigInt a,BigInt b,BigInt p)
{
BigInt aa=a,t("1"),k("2");
// int b2=atoi(b1[lsize-1].c_str());
while(b.values!="0")
{
if((b%k).values!="0")
{
t=(t%p)*(aa%p)%p;
}
aa=(aa%p)*(aa%p)%p;
b=b/k;
}
return t%p;
}
/*
扩展欧几里德实现乘法逆
*/
BigInt extgcd(BigInt a, BigInt b, BigInt& x, BigInt& y)
{
BigInt d(a.values);
if(b.values != "0"){
d = extgcd(b, a % b, y, x);
y = y-(a / b) * x;
// cout<<"a:"<<a<<endl;
// cout<<"b:"<<b<<endl;
// cout<<"x:"<<x<<endl;
// cout<<"y:"<<y<<endl<<endl<<endl;
}else {
x.values = "1";
y.values = "0";
}
return d;
}
BigInt mod_inverse(BigInt a, BigInt m)
{
BigInt x, y;
extgcd(a, m, x, y);
if(x.flag==false)
{
x.flag=true;
x=m-x;
}
return (m + x % m) % m;
}
int main()
{
BigInt a,b,n;
char op;
while(1){
cout<<"请按提示数字进行操作。。。。"<<endl<<endl;
cout<<"1-------计算(a+b)mod n的值-------"<<endl;
cout<<"2-------计算(a-b)mod n的值-------"<<endl;
cout<<"3-------计算(a*b)mod n的值-------"<<endl;
cout<<"4-------计算(a/b)mod n的值-------"<<endl;
cout<<"5-------计算(a%b)mod n的值-------"<<endl;
cout<<"6-------计算(a^b)mod n的值-------"<<endl;
cout<<"7-------计算 GCD(a,b) 的值-------"<<endl;
cout<<"8-------计算a和n乘法逆的值-------"<<endl;
cout<<endl<<endl<<"请输入数字进行计算：";
cin >> op;
switch(op)
{
case '1':
cout<<"请输入a、b和n的值：";
cin>>a>>b>>n;
cout<<endl;
cout<<"a+b的值："<<a+b<<endl;
cout<<"(a+b)mod n的值: "<< (a+b)%n<<endl<<endl<<endl<<endl;
break;
case '2':
cout<<"请输入a、b和n的值：";
cin>>a>>b>>n;
cout<<endl;
cout<<"a-b的值："<<a-b<<endl;
cout<<"(a-b)mod n的值: "<< (a-b)%n<<endl<<endl<<endl<<endl;
break;
case '3':
cout<<"请输入a、b和n的值：";
cin>>a>>b>>n;
cout<<endl;
cout<<"a*b的值："<<a*b<<endl;
cout<<"(a*b)mod n的值: "<< (a*b)%n<<endl<<endl<<endl<<endl;
break;
case '4':
cout<<"请输入a、b和n的值：";
cin>>a>>b>>n;
cout<<endl;
cout<<"a/b的值："<<a/b<<endl;
cout<<"(a/b)mod n的值: "<< (a/b)%n<<endl<<endl<<endl<<endl;
break;
case '5':
cout<<"请输入a、b和n的值：";
cin>>a>>b>>n;
cout<<endl;
cout<<"a%b的值："<<a%b<<endl;
cout<<"(a%b)mod n的值: "<< (a%b)%n<<endl<<endl<<endl<<endl;
break;
case '6':
cout<<"请输入a、b和n的值：";
cin>>a>>b>>n;
cout<<endl;
cout<<"a^b的值："<<fast(a,b)<<endl;
cout<<"(a^b)mod n的值: "<<mod_fast(a,b,n)<<endl<<endl<<endl<<endl;
break;
case '7':
cout<<"请输入a和b的值：";
cin>>a>>b;
cout<<endl;
cout<<"GCD(a,b)的值："<<gcd(a,b)<<endl<<endl<<endl<<endl;
break;
case '8':
cout<<"请输入a和n的值：";
cin>>a>>n;
cout<<endl;
cout<<"a和n的乘法逆: "<< mod_inverse(a,n)<<endl<<endl<<endl<<endl;
break;
default:break;
}
}
return 0;
}
Miller-Rabin大素数检测算法请看我的这篇文章
https://blog.csdn.net/qq_34490018/article/details/79844036
