约瑟夫环是一个数学的应用问题:已知n个人(以编号1,2,3…n分别表示)围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数,数到m的那个人出列;他的下一个人又从1开始报数,数到m的那个人又出列;依此规律重复下去,直到圆桌周围的人全部出列。
下面来一个具体的情景:
有M个敢死队员要炸掉敌人的一碉堡,谁都不想去,排长决定用轮回数数的办法来决定哪个战士去执行任务。如果前一个战士没完成任务,则要再派一个战士上去。现给每个战士编一个号,大家围坐成一圈,随便从某一个战士开始计数,当数到5时,对应的战士就去执行任务,且此战士不再参加下一轮计数。如果此战士没完成任务,再从下一个战士开始数数,被数到第5时,此战士接着去执行任务。以此类推,直到任务完成为止。指出最后一个去的人。
方法一:直接用顺序表模拟:
1 /*===========================================================================*\ 2 * 约瑟夫环问题 3 * 4 * 方法一:用顺序表直接模拟 5 * 6 * 2013-05-20 by 樊列龙 7 * 8 \*===========================================================================*/
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10 #include <stdio.h>
11 #include <stdlib.h>
12 #include <malloc.h>
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14 typedef int ElemType; 15
16 typedef struct /* 定义数据结构体类型*/
17 { 18 ElemType *elem; /* 存储空间基址*/
19 int length; /* 当前长度*/
20 int listsize; /* 当前分配的存储容量(以sizeof(ElemType)为单位)*/
21 } SqList, *SqListPtr; 22
23 /* 初始化 */
24 void init_sql(SqListPtr L) 25 { 26 printf("Please input the tatal of the team:"); 27 scanf("%d",&L->listsize); /*输入敢死队员总数*/
28
29 L->elem = (ElemType *)malloc((L->listsize+1) * sizeof(ElemType)); 30 if(! L->elem) 31 { 32 printf("分配内存失败\n"); 33 exit(0); /*存储分配失败*/
34 } 35 else
36 { 37 L->length = L->listsize; 38 int i; 39 for(i = 1; i <= L->listsize; i++) 40 { 41 (L->elem)[i] = i; 42 } 43 } 44 } 45
46 /* 删除第pos位成员 */
47 int delete_menber(SqListPtr L, int pos) 48 { 49 int i = pos; 50 int d = L->elem[pos]; 51 for(; i <= L->length; i++) 52 { 53 L->elem[i] = L->elem[i+1]; 54 } 55 L->length--; 56
57 return d; 58 } 59
60 int performTask(SqListPtr L) 61 { 62 int i = 1, count = 1,d; 63 for(i = 1; L->length > 1;) 64 { 65 if(count == 5) 66 { 67 count = 1; 68 d = delete_menber(L,i); 69 printf("第 %d 号去执行任务\n", d ); 70 } 71 else
72 { 73 count++; 74 i++; 75 } 76 if(i > L->length) 77 { 78 i = 1; 79 } 80 } 81 } 82
83 int main() 84 { 85 SqListPtr L = (SqListPtr)malloc(sizeof(SqList)); 86 init_sql(L); 87
88 performTask(L); 89 printf("最后剩下的人 %d 号\n",L->elem[1]); 90
91 return 0; 92 }
方法二:
解法二(From Net):
思想:归纳为数学性问题。原文说的很好,还是直接Copy吧,因为搜索半天也没有找到原作者,所以无法添加引用地址了,如果这位大哥看到这里,请告知与我,小弟立刻加入引用链接:)
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k –> 0
k+1 –> 1
k+2 –> 2
…
…
k-2 –> n-2
k-1 –> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x’=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:
1 #include <stdio.h> 2 int main() 3 { 4 int n, m, i, s = 0; 5 printf ("N M = "); 6 scanf("%d%d", &n, &m); 7 for (i = 2; i <= n; i++) 8 { 9 s = (s + m) % i; 10 } 11 printf ("\nThe winner is %d\n", s+1); 12 }