继续笔试准备ing……分享一下昨天做到的其中一题，其实题目很老，也做过n遍了，但复习起来也是颇有韵味，同时还发现另一种妙解，感觉不错的。
问题描述：
约瑟夫环问题(Josephus)
用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）
解法一(My Solution)：
思想：建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并记数，如果计数i==m(i初始为1)踢出元素，继续循环，当当前元素与下一元素相同时退出循环。
代码：
1
/*
2
约瑟夫环问题(Josephus)
3
用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）
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Code By Eric Yang 2009
5
http://ericyang.cnblogs.com
6
*/
7
#include
<
stdio.h
>
8
#include
<
stdlib.h
>
9
10
//
链表节点
11
typedef
struct
_RingNode
12
{
13
int
pos;
//
位置
14
struct
_RingNode
*
next;
15
}RingNode,
*
RingNodePtr;
16
17
//
创建约瑟夫环，pHead:链表头指针，count:链表元素个数
18
void
CreateRing(RingNodePtr pHead,
int
count)
19
{
20
RingNodePtr pCurr
=
NULL, pPrev
=
NULL;
21
int
i
=
1
;
22
pPrev
=
pHead;
23
while
(
—
count
>
0
)
24
{
25
pCurr
=
(RingNodePtr)malloc(
sizeof
(RingNode));
26
i
++
;
27
pCurr
->
pos
=
i;
28
pPrev
->
next
=
pCurr;
29
pPrev
=
pCurr;
30
}
31
pCurr
->
next
=
pHead;
//
构成环状链表
32
}
33
34
void
PrintRing(RingNodePtr pHead)
35
{
36
RingNodePtr pCurr;
37
printf(
“
%d
“
, pHead
->
pos);
38
pCurr
=
pHead
->
next;
39
while
(pCurr
!=
NULL)
40
{
41
if
(pCurr
->
pos
==
1
)
42
break
;
43
printf(
“
\n%d
“
, pCurr
->
pos);
44
pCurr
=
pCurr
->
next;
45
}
46
}
47
48
void
KickFromRing(RingNodePtr pHead,
int
m)
49
{
50
RingNodePtr pCurr, pPrev;
51
int
i
=
1
;
//
计数
52
pCurr
=
pPrev
=
pHead;
53
while
(pCurr
!=
NULL)
54
{
55
if
(i
==
m)
56
{
57
//
踢出环
58
printf(
“
\n%d
“
, pCurr
->
pos);
//
显示出圈循序
59
pPrev
->
next
=
pCurr
->
next;
60
free(pCurr);
61
pCurr
=
pPrev
->
next;
62
i
=
1
;
63
}
64
pPrev
=
pCurr;
65
pCurr
=
pCurr
->
next;
66
if
(pPrev
==
pCurr)
67
{
68
//
最后一个
69
printf(
“
\n%d
“
, pCurr
->
pos);
//
显示出圈循序
70
free(pCurr);
71
break
;
72
}
73
i
++
;
74
}
75
}
76
77
int
main()
78
{
79
int
m
=
0
, n
=
0
;
80
RingNodePtr pHead
=
NULL;
81
printf(
“
—————Josephus Ring—————\n
“
);
82
printf(
“
N(person count) =
“
);
83
scanf(
“
%d
“
,
&
n);
84
printf(
“
M(out number) =
“
);
85
scanf(
“
%d
“
,
&
m);
86
if
(n
<=
0
||
m
<=
0
)
87
{
88
printf(
“
Input Error\n
“
);
89
system(
“
pause
“
);
90
return
0
;
91
}
92
//
建立链表
93
pHead
=
(RingNodePtr)malloc(
sizeof
(RingNode));
94
pHead
->
pos
=
1
;
95
pHead
->
next
=
NULL;
96
CreateRing(pHead, n);
97
#ifdef _DEBUG
98
PrintRing(pHead);
99
#endif
100
101
//
开始出圈
102
printf(
“
\nKick Order:
“
);
103
KickFromRing(pHead, m);
104
printf(
“
\n
“
);
105
system(
“
pause
“
);
106
return
0
;
107
}
108
解法二(From Net)：
思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k –> 0
k+1 –> 1
k+2 –> 2
…
…
k-2 –> n-2
k-1 –> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
1
#include
<
stdio.h
>
2
int
main()
3
{
4
int
n, m, i, s
=
0
;
5
printf (
“
N M =
“
);
6
scanf(
“
%d%d
“
,
&
n,
&
m);
7
for
(i
=
2
; i
<=
n; i
++
)
8
{
9
s
=
(s
+
m)
%
i;
10
}
11
printf (
“
\nThe winner is %d\n
“
, s
+
1
);
12
} 这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。
相比之下，解法二的优越性不言而喻，同时说明数学确实很重要。
