解决约瑟夫环问题

1. 问题描述

        一个旅行社要冲n个旅客中选出一名旅客,为他提供免费的环球旅行服务。旅行社安排这些旅客围城一个圈,从帽子中取出一张纸条,用上面写的正整数m(m<n)作为报数值。游戏进行时,从第一个人开始按顺时针方向上的下一个人开始重新报数,如此下去,知道圆圈中只剩下一个人,这个最后的幸存者就是游戏的胜利者,将得到免费旅行的奖励。

 

2. 问题分析

1)标号分析

        可以发现,当人数n,报数值m,人数排列的顺序,和第一个人出局后,接下来剩余的人出局的顺序和最后留下来的人确定了,此时编号只是一个名字,没有实质性的影响。

2)算法分析

        假设从编号为0的人开始报数,那么第一个出环的人为:m%n-1;

        从编号为m%n的人开始新一轮的报数。令k=m%n,则报数的顺序为:k,k+1,k+2……n-1,0,1,2……k-2。

        根据1)中的分析,此时改变编号,不会影响实际的结果,所以我们对此环进行重新编号,变化关系为:

        k    →  0

        k+1  →  1

        k+2  →  2

        ……

        k-2  →  n-2

        x’      x

        所以x’与x的对应关系为:x’=(x+k)%n。

        假设,最后活下来的人的编号在重新编号的n-1个人的约瑟夫环中为x,那么他在n个人的约瑟夫环中的为止编号为x’,即:f(n)=(f(n-1) + m%n)%n

        简化得:f(n) = (f(n-1) + m)%n

        而当n=1时,编号为0的人留下来了,即f(1) = 0

        所以编程实现极其简单:

int main()
{
    int n,m,i,s=0;
    cout << "请输入总人数:"<< endl;
    cin >> n;
    cout << "请输入报数值" << endl
    cin >> m;
    for(int i=1 ; i<n ; i++)
        s = (s+m)%i;
     cout << "最后留下的人为:" << s << endl;
}

 

    原文作者:约瑟夫环问题
    原文地址: https://www.cnblogs.com/HanEichy/p/4338373.html
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