约瑟夫环是一个数学的应用问题：

已知n个人（以编号0，1，2, … n-1 分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为0的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。求最后一个出列的人的序号。。

方法 1：

模拟游戏。利用数组或者循环链表，模拟游戏的进行，直到最后仅仅留下一个数。

复杂度是 O（MN）

方法 2： O（N）

1. 一开始，n 个人： 0  1  2  3   …     m-1   m   m+1 … n-1     显然，编号 m-1 的人出列；

                                                             ||

                                                             \/

2.            新的序列：0  1  2  3 …  m-2        m   m+1 … n-1     从 编号 m 开始新的一轮游戏，

                                                              ||   因为从编号m开始，把后半段放到前面

                                                              \/         

                                 m   m+1   …  n-1       0      1      2   …   m-2

                                                              ||   编号变换 <1>, 右半部分加上 n

                                                              \/

                                 m    m+1  …   n-1      n     n+1   n+2 …  n+m-2

                                                              ||  编号变换 <2>, 全部减去 m

                                                              \/

                                 0    1   2   3  …….X ………….    n – 2

假设红色数字 X 是 [ 0 1 2 … n-2] 中最终存留的序号，我们的目标是得到这个编号经过了两次编号变换前的编号 x’。

两次编号变换的逆变换其实就是                   x’  = ( X + m) % n;

因此，我们得到了递推关系式   f [n] = ( f[n-1] + m ) % n;

f[i] —- 表示 i 个人玩这个游戏，最后存留的编号。

代码如下：

// copyright @ L.J.SHOU Mar.11, 2014
// jossef circle
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int JosefCircle(int m, int n)
{
  vector<int> f(n+1, 0);

  for(int i=2; i<=n; ++i)
    f[i] = (f[i-1] + m) % i;

  return f[n];
}