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62 圆圈中最后剩下的数字（约瑟夫环问题）

题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数….这样下去….直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)  
方法一：用数组模拟过程（也可以用链表模拟）
/*
约瑟夫环问题
方法一：用数组模拟过程，删除之后剩下的元素即为最后结果(可用状态数组)
81ms,有点慢
O(nlogm(n)), O(n)
*/
class
Solution
{
public
:
   
int
LastRemaining_Solution
(
int
n
,
int
m
)
   
{
        vector
<
int
>
state
(
n
,
1
);
//定义一个数组存储各元素的状态
       
int
count_del
=
0
;
//对删除的数字计数
       
int
count
=
0
;
//用于数哪个数被删除
       
int
i
=
0
;
//索引
       
for
(;
count_del
<
n
;
i
++)
       
{
           
if
(
i
==
n
)
i
=
0
;
           
if
(
state
[
i
]
==
1
)
count
++;
           
if
(
count
==
m
)
//第m个数时进行“删除”
           
{
                count
=
0
;
                count_del
++;
                state
[
i
]
=
0
;
//更改状态，0表示已经被删除
           
}
       
}
//退出循环时，最后一个元素状态被置0,i++会执行一次，故应返回i-1
       
return
i
–
1
;
   
}
};
 
方法二：找递推公式
  现在先将n个人按照编号进行排序：  0 1 2 3 … n-1  那么第一次被淘汰的人编号一定是K-1(假设K < n，若K > n则为(K-1) mod n)。将被选中的人标记为”#”：  0 1 2 3 … K-2 # K K+1 K+2 … n-1  第二轮报数时，起点为K这个候选人。并且只剩下n-1个选手。假如此时把k看作0’，k+1看作1’… 
则对应有：
0
1
2
3
… K-
2
# K K+1 K+2 … n-1 n-K
‘ n-2’
0
‘ 1’
2
‘ … n-K-1’

此时在0’,1’,…,n-2’上再进行一次K报数的选择。假设f[n-1]的值已经求得，因此我们可以直接求得当选者的编号s’。  但是，该
编号s’是在n-1个候选人报数时的编号，并不等于n个人时的编号 ，所以我们还需要将s’转换为对应的s。  通过观察，
s和s’编号相对偏移了K，又因为是在环中，因此得到
s = (s’+K) mod n。 
即f[n] = (f[n-1] + k) mod n。  
/*
方法二：推出递推公式（动态规划）
i = 1, res =0
i = 2, res = (0+3)%2 = 1
i = 3, res = (1+3)%3 = 1
i = 4, res = (1+3)%4 = 0
…
O(n),O(1)
*/
class
Solution
{
public
:
   
int
LastRemaining_Solution
(
int
n
,
int
k
)
   
{
       
if
(
n
<
1
||
k
<
1
)
return
–
1
;
//返回-1表示非法输入
       
       
int
  last
=
0
;
       
for
(
int
i
=
2
;
i
<=
n
;
i
++)
            last
=
(
last
+
k
)
%
i
;
//i个人时删除数的索引等于i-1个人时删除数的索引+k(再对i取余)
       
       
return
last
;
   
}
};