Poj 1012 约瑟夫环问题
本题是约瑟夫环的变形那么先说说约瑟夫问题的数学方法
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意： 问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。 我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2 并且从k开始报0。 现在我们把他们的编号做一下转换： k –> 0 k+1 –> 1 k+2 –> 2 … … k-2 –> n-2 k-1 –> n-1 变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k)%n 如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式： 令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式 f[1]=0; f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1 由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：*/
#include <stdio.h>
main()
{
int n, m, i, s=0;
printf(“N=”);
scanf(“%d”, &n);
printf(“M=”);
scanf(“%d”, &m);
for(i=2; i<=n; i++)
s=(s+m)%i;
printf(“The winner is %d\n”, s+1);
}
本题是约瑟夫环变形 先引入Joseph递推公式，设有n个人（0,…,n-1），数m，则第i轮出局的人为f(i)=(f(i-1)+m-1)%(n-i+1),f(0)=0; f(i) 表示当前子序列中要退出的那个人（当前序列编号为0~(n-i));
拿个例子说：K=4,M=30;
f(0)=0;
f(1)=(f(0)+30-1)%8=5; 序列（0,1,2,3,4,5,6,7）中的5
f(2)=(f(1)+30-1)%7=6; 序列（0,1,2,3,4,6,7）中的7
f(3)=(f(2)+30-1)%6=5; 序列（0,1,2,3,4,6）中的6
f(4)=(f(3)+30-1)%5=4; 序列（0,1,2,3,4）中的4
……..
依据题意，前K个退出的人必定是后K个人，所以只要前k轮中只要有一次f(i)<k则此m不符合题意。
接下来说说m的取值范围：我们考察一下只剩下k+1个人时候情况，即坏人还有一个未被处决，那么在这一轮中结束位置必定在最后一个坏人，那么开始位置在哪呢？这就需要找K+2个人的结束位置，然而K+2个人的结束位置必定是第K+2个人或者第K+1个人，这样就出现两种顺序情况：GGGG…..GGGXB 或 GGGG……GGGBX (X表示有K+2个人的那一轮退出的人）所以有K+1个人的那一轮的开始位置有两种可能即第一个位置或K+1的那个位置，限定m有两种可能：t(k+1) 或 t(k+1)+1; t>=1; 若遍历每一个m必定超时，避免超时则需要打表和限制m的范围。
#include<stdio.h>
int a[14];
int f(int k,int m)
{
int n,i,s;
n=2*k;s=0;
for(i=0;i<k;i++)
{
s=(s+m-1)%(n-i);
if(s<k) return 0;//遇到前k轮中有小于k的直接返回0
}
return 1;
}
int main()
{
int i,k,n;
for(k=1;k<=14;k++)
{
i=k+1;
while(1)
{
if(f(k,i))//t(k+1)的情况
{
a[k]=i;
break;
}
else if(f(k,i+1))//t(k+1)+1的情况
{
a[k]=i+1;
break;
}
i+=k+1;
}
}
while(scanf("%d",&n) && n)
{
printf("%d\n",a[n]);
}
return 0;
}
