这是我遇到的第一个真正的算法，数据结构应用问题。
这也是老大问了我这问题很多天后，我才恍然，原来这叫约瑟夫环问题。
这是我查找链表时，发现的。长话短说，说说这上午的总结。
约瑟夫环问题主要分两种，
第一种问题的描述是:N个人按顺时针围成一个圈，从1到N，然后报数，报到M的人就出去，然后剩余的人仍然围成一个圈，从出局的人下一个人开始重新报数，到M的人出局，如此循环。
第二中问题的描述唯一的不同之处就是每个人都会持有一个密码，这个密码用来设置M，也就说一个人出局以后，按他所拥有的密码作为M来进行淘汰。
关于网上有很多版本说法，不过核心都是这样。
对于第第一种问题的描述，有两种解法，第一种就是使用一个循环链表，然后按M删除链表中的节点，一直到最后一个节点为止。第二种解法是数学方法。
这里引用一下这两个博客
http://www.cnblogs.com/EricYang/archive/2009/09/04/1560478.html
http://blog.csdn.net/jianzhibeihang/article/details/4952947
解法一：
思想：建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并记数，如果计数i==m(i初始为1)踢出元素，继续循环，当当前元素与下一元素相同时退出循环。
代码：
/*
约瑟夫环问题(Josephus)
用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）
Code By Eric Yang 2009
http://ericyang.cnblogs.com
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
// 链表节点
typedef struct _RingNode
{
int pos; // 位置
struct _RingNode *next;
}RingNode, *RingNodePtr;
// 创建约瑟夫环，pHead:链表头指针，count:链表元素个数
void CreateRing(RingNodePtr pHead, int count)
{
RingNodePtr pCurr = NULL, pPrev = NULL;
int i = 1;
pPrev = pHead;
while(--count > 0)
{
pCurr = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
i++;
pCurr->pos = i;
pPrev->next = pCurr;
pPrev = pCurr;
}
pCurr->next = pHead; // 构成环状链表
}
void PrintRing(RingNodePtr pHead)
{
RingNodePtr pCurr;
printf("%d", pHead->pos);
pCurr = pHead->next;
while(pCurr != NULL)
{
if(pCurr->pos == 1)
break;
printf("\n%d", pCurr->pos);
pCurr = pCurr->next;
}
}
void KickFromRing(RingNodePtr pHead, int m)
{
RingNodePtr pCurr, pPrev;
int i = 1; // 计数
pCurr = pPrev = pHead;
while(pCurr != NULL)
{
if (i == m)
{
// 踢出环
printf("\n%d", pCurr->pos); // 显示出圈循序
pPrev->next = pCurr->next;
free(pCurr);
pCurr = pPrev->next;
i = 1;
}
pPrev = pCurr;
pCurr = pCurr->next;
if (pPrev == pCurr)
{
// 最后一个
printf("\n%d", pCurr->pos); // 显示出圈循序
free(pCurr);
break;
}
i++;
}
}
int main()
{
int m = 0, n = 0;
RingNodePtr pHead = NULL;
printf("---------------Josephus Ring---------------\n");
printf("N(person count) = ");
scanf("%d", &n);
printf("M(out number) = ");
scanf("%d", &m);
if(n <= 0 || m <= 0)
{
printf("Input Error\n");
system("pause");
return 0;
}
// 建立链表
pHead = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
pHead->pos = 1;
pHead->next = NULL;
CreateRing(pHead, n);
#ifdef _DEBUG
PrintRing(pHead);
#endif
// 开始出圈
printf("\nKick Order: ");
KickFromRing(pHead, m);
printf("\n");
system("pause");
return 0;
}解法二
思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k –> 0
k+1 –> 1
k+2 –> 2
…
…
k-2 –> n-2
k-1 –> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s = 0;
printf ("N M = ");
scanf("%d%d", &n, &m);
for (i = 2; i <= n; i++)
{
s = (s + m) % i;
}
printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
}这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。
这里我想说一下，解法二用到了数学方法，这也不得不改变数学之于编程没有用的说法（这是我大学老师说过的意思，真正用到了数学，我才知道数学还是有点用的（其实是很有重的！），不过也不能以偏概全，或许大家所接触的领域不一样，又或许当时他在说笑，减少我们对编程的抵触吧）。
第二种问题的解法，实际上跟第一种差不多，只是在结构体里面加了一个密码值保存下一次出局的M值，代码如下:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <malloc.h>
/* 结构体和函数声明 */
typedef struct _node_t
{
int n_num;
int passwd;
struct _node_t *next;
} node_t;
/* 功能函数实现 */
/*
* name: node_t_create
* params:
* n [in] 输入要构造的链表的个数
* return:
* 返回构造成功的环形单向链表指针
* notes:
* 构造节点数量为 n 的环形单向链表
*
*/
node_t * node_t_create(int n,int key[])
{
node_t *p_ret = NULL;
if (0 != n)
{
int n_idx = 1;
node_t *p_node = NULL;
/* 构造 n 个 node_t */
p_node = (node_t *) malloc(n * sizeof(node_t));
if (NULL == p_node)
return NULL;
else
memset(p_node, 0, n * sizeof(node_t));
/* 内存空间申请成功 */
p_ret = p_node;
for (; n_idx < n; n_idx++)
{
p_node->n_num = n_idx;
p_node->passwd = key[n_idx];
p_node->next = p_node + 1;
p_node = p_node->next;
}
p_node->n_num = n;
p_node->passwd = key[n];
p_node->next = p_ret;
}
return p_ret;
}
/*
* name: main
* params:
* none
* return:
* int
* notes:
* main function
*/
int main()
{
int n, m;
node_t *p_list, *p_iter;
int *key;
printf("input two integers:");
scanf("%d %d",&n,&m);
key =(int *) malloc(n * sizeof(int));
int j = 1;
for(;j <= n; ++j)
scanf("%d",key+j);
/* 构造环形单向链表 */
p_list = node_t_create(n,key);
/* Josephus 循环取数 */
p_iter = p_list;
int k = 1;
int l = 1;
/* 取到第 m-1 个节点 */
for (; l < m - 1; l++)
{
p_iter = p_iter->next;
}
/* 输出第 m 个节点的值 */
printf("%d/n", p_iter->next->n_num);
m = p_iter->next->passwd;//保存将要删除的节点key值，作为下一次的密码用
/* 从链表中删除第 m 个节点 */
p_iter->next = p_iter->next->next;
p_iter = p_iter->next;
while (p_iter != p_iter->next)
{
int i = 1;
/* 取到第 m-1 个节点 */
for (; i < m - 1; i++)
{
p_iter = p_iter->next;
}
/* 输出第 m 个节点的值 */
printf("%d/n", p_iter->next->n_num);
m = p_iter->next->passwd;
/* 从链表中删除第 m 个节点 */
p_iter->next = p_iter->next->next;
p_iter = p_iter->next;
}
printf("%d/n", p_iter->n_num);
/* 释放申请的空间 */
free(p_list);
return 0;
}