约瑟夫环问题的原来描述为，设有编号为1，2，……，n的n(n>0)个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈，再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈为止。当任意给定n和m后，设计算法求n个人出圈的次序。 稍微简化一下。
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
思路：容易想到的就是用环链表来做，构建一个环链表，每个结点的编号为0, 1, …… n-1。每次从当前位置向前移动m-1步，然后删除这个结点。最后剩下的结点就是胜利者。给出两种方法实现，一种是自定义链表操作，另一种用是STL库的单链表。不难发现，用STL库可以提高编写速度。
struct ListNode
{
int num; //编号
ListNode *next; //下一个
ListNode(int n = 0, ListNode *p = NULL)
{ num = n; next = p;}
};
//自定义链表实现
int JosephusProblem_Solution1(int n, int m)
{
if(n < 1 || m < 1)
return -1;
ListNode *pHead = new ListNode(); //头结点
ListNode *pCurrentNode = pHead; //当前结点
ListNode *pLastNode = NULL; //前一个结点
unsigned i;
//构造环链表
for(i = 1; i < n; i++)
{
pCurrentNode->next = new ListNode(i);
pCurrentNode = pCurrentNode->next;
}
pCurrentNode->next = pHead;
//循环遍历
pLastNode = pCurrentNode;
pCurrentNode = pHead;
while(pCurrentNode->next != pCurrentNode)
{
//前进m - 1步
for(i = 0; i < m-1; i++)
{
pLastNode = pCurrentNode;
pCurrentNode = pCurrentNode->next;
}
//删除报到m - 1的数
pLastNode->next = pCurrentNode->next;
delete pCurrentNode;
pCurrentNode = pLastNode->next;
}
//释放空间
int result = pCurrentNode->num;
delete pCurrentNode;
return result;
}//使用标准库
int JosephusProblem_Solution2(int n, int m)
{
if(n < 1 || m < 1)
return -1;
list<int> listInt;
unsigned i;
//初始化链表
for(i = 0; i < n; i++)
listInt.push_back(i);
list<int>::iterator iterCurrent = listInt.begin();
while(listInt.size() > 1)
{
//前进m - 1步
for(i = 0; i < m-1; i++)
{
if(++iterCurrent == listInt.end())
iterCurrent = listInt.begin();
}
//临时保存删除的结点
list<int>::iterator iterDel = iterCurrent;
if(++iterCurrent == listInt.end())
iterCurrent = listInt.begin();
//删除结点
listInt.erase(iterDel);
}
return *iterCurrent;
}
上述方法的效率很低，其时间复杂度为O(mn)。当n和m很大时，很难在短时间内得出结果。不过好处就是可以给出n个人出圈的次序。只要在删除前保存一下即可。
下面利用数学推导，如果能得出一个通式，就可以利用递归、循环等手段解决。下面给出推导的过程：
（1）第一个被删除的数为 (m – 1) % n。
（2）假设第二轮的开始数字为k，那么这n – 1个数构成的约瑟夫环为k, k + 1, k + 2, k +3, …..,k – 3, k – 2。做一个简单的映射。
k —–> 0
k+1 ——> 1
k+2 ——> 2
…
…
k-2 ——> n-2
这是一个n -1个人的问题，如果能从n – 1个人问题的解推出 n 个人问题的解，从而得到一个递推公式，那么问题就解决了。假如我们已经知道了n -1个人时，最后胜利者的编号为x，利用映射关系逆推，就可以得出n个人时，胜利者的编号为 (x + k) % n。其中k等于m % n。代入(x + k) % n <=> (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n
（3）第二个被删除的数为(m – 1) % (n – 1)。
（4）假设第三轮的开始数字为o，那么这n – 2个数构成的约瑟夫环为o, o + 1, o + 2,……o – 3, o – 2.。继续做映射。
o —–> 0
o+1 ——> 1
o+2 ——> 2
…
…
o-2 ——> n-3
这是一个n – 2个人的问题。假设最后的胜利者为y，那么n -1个人时，胜利者为 (y + o) % (n -1 )，其中o等于m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)
要得到n – 1个人问题的解，只需得到n – 2个人问题的解，倒推下去。只有一个人时，胜利者就是编号0。下面给出递推式：
f [1] = 0;
f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1)
有了递推公式，实现就非常简单了，给出循环的两种实现方式。再次表明用标准库的便捷性。
int JosephusProblem_Solution3(int n, int m)
{
if(n < 1 || m < 1)
return -1;
int *f = new int[n+1];
f[0] = f[1] = 0; //f[0]其实用不到的
for(unsigned i = 2; i <= n; i++)
f[i] = (f[i-1] + m) % i; //按递推公式进行计算
int result = f[n];
delete []f;
return result;
}int JosephusProblem_Solution4(int n, int m)
{
if(n < 1 || m < 1)
return -1;
vector<int> f(n+1,0);
for(unsigned i = 2; i <= n; i++)
f[i] = (f[i-1] + m) % i;
return f[n];
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