约瑟夫问题
约瑟夫问题(有时也称为约瑟夫斯置换,是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。又称“丢手绢问题”.)
一般形式
N 个人围成一圈,从第一个开始报数,第 M 个将淘汰,退出圈外,重复上述过程 n – 1 次,最后剩下一个,最后留下来的人获胜。求出最后获胜者的编号。
例如 N = 6 , M = 4 ,被杀掉的顺序是: 4 , 2 , 1 , 3 , 6 , 5
获胜者便是 5 。
最初的方法
用数组模拟链表,模拟整个淘汰过程。
Solution1.0
int work(int n,int m)
{
int now=1,last=n;
fo(i,1,n)next[i]=i+1;
next[n]=1;
fo(i,1,n-1){
fo(l,1,m-1)last=now,now=next[now];
next[last]=next[now]; now=next[now];
}
return now;
}
O(n)的方法
将编号换成 0 ~ i – 1 ,设 fi 表示环大小为 i 时获胜者的编号。
考虑将第一个人淘汰后(可以推出此人的编号为 m % i ),便剩下了 i – 1 个人,此时下一轮第一个叫号的人为 m % i 后一个人,因此我们便可以从 fi−1 转移到 fi ,再加上前 m % i 个人即可。
转移方程式(仔细想一下就可以推出来了
Solution2.0
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;//(i>1)
终极方法
如果n特别大怎么办,这时就需要一个与m相关的复杂度的方法。
设 g ( n , k )为环大小为 n ,每叫 k 个人便淘汰一人的答案。
当 n 很大的时候,可以一次过把第 k , 2k , 3k …… ⌊nk⌋ * k ,一次淘汰掉 ⌊nk⌋ 个人,推算一下,便可以得到以下递推式。