约瑟夫环问题(O(n)解法)
假设n个人，报数为m的被淘汰，求最后剩下的人。
暴力解法是O(m*n)的。
转自:http://blog.csdn.net/lishuzhai/article/details/51125072
题目：
n个人围成一个圈，每个人分别标注为1、2、…、n，要求从1号从1开始报数，报到k的人出圈，接着下一个人又从1开始报数，如此循环，直到只剩最后一个人时，该人即为胜利者。例如当n=10,k=4时，依次出列的人分别为4、8、2、7、3、10，9、1、6、5，则5号位置的人为胜利者。给定n个人，请你编程计算出最后胜利者标号数。（要求用单循环链表完成。）
第一行为人数n;
第二行为报数k
10
4
公式法（即递推）：
递推过程：
(1)第一个被删除的数为（m-1）%n;
(2)设第二次的开始数字为k，
做下映射：（即将数字的排列计算还是从0开始）
k—>0
k+1—>1
k+2—>2
— —
k-2—>n-2
此时剩下n-1个人 ，假如我们已经知道了n-1个人时，最后胜利者的编号为x，利用映射关系逆推，就可以得出n个人时，胜利者的编号为(x+k)%n（要注意的是这里是按照映射后的序号进行的）
其中k=m%n。
代入
（x+k）%n<=>(x+(m%n))%n<=>(x%n + (m%n)%n)%n<=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n
(3)第二个被删除的数为（m-1）%n-1
(4)假设第三轮的开始数字为o，那这n-2个数构成的约瑟夫环为o,o+1,o+2,…,o-3,o-2。
映射
o—>0
o+1—>1
o+2—>2
— —
o-2—>n-3
这是一个n-2个人的问题。假设最后胜利者为y，那么n-1个人时，胜利者为(y+o)%(n-1)，其中o等于m%(n-1)。代入可得(y+m)%(n-1)
要得到n-1个人问题的解，只需要得到n-2个人问题的解，倒退下去。只有一个人时，胜利者就是编号0.小面给出递推式：
f(1)=0;
f(i)=(f[i-1]+m)%i;(i>1)
这个公式的思想：
现在假设n=10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k=3
第一个人出列后的序列为：
0 1 3 4 5 6 7 8 9
即: 3 4 5 6 7 8 9 0 1（1式）
我们把该式转化为: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (2式)
则你会发现: （(2式)+3）%10则转化为(1式)了
也就是说，我们求出9个人中第9次出环的编号，最后进行上面的转换就能得到10个人第10次出环的编号了
设f(n,k,i)为n个人的环，报数为k，第i个人出环的编号，则f(10,3,10)是我们要的结果
当i=1时， f(n,k,i) = (n+k-1)%n
当i!=1时， f(n,k,i)= ( f(n-1,k,i-1)+k )%n
- #include<stdio.h>
- int main()
- {
- int n, m,i,s=0;
- scanf(“%d%d”,&n,&m);
- for(i=2;i<=n;i++)
- s=(s+m)%i;
- printf(“%d”, s+1);
- return 0;
- }
说一下：
for(i=2;i<=n;i++)
s=(s+m)%i;
这个式子：
首先从2开始，因为1个人的时候报的数字的人为0号，结果已经确定了。不需要从i=0开始，要注意的是序列从0开始编号的，所以最后的输出结果也要加1.
s表示的是上一轮的结果，m代表是每多少个人出列一次，i代表当前已经出列了多少个人。
整个式子就是根据上一个的出列数和已经出列的人数来算的。
如果还不懂就仔细琢磨哦。
