牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

       既然牛顿迭代法可以用来求解方程的根，那么不妨以方程 x2=n 为例，来试着求解它的根。为此。令 f(x)=x2−n ， 也就是相当于求解 f(x)=0 的解，如上图所示。

       首先随便找一个初始值 x0 ，如果 x0 不是解，做一个经过 (x0,f(x0)) 这个点的切线，与 x 轴的交点为 x1 。同样的道理，如果 x1 不是解，做一个经过 (x1,f(x1)) 这个点的切线，与 x 轴的交点为 x2 。 以此类推。以这样的方式得到的 xi 会无限趋近于 f(x)=0 的解。

判断 xi 是否是 f(x)=0 的解有两种方法： 一是直接计算 f(xi) 的值判断是否为 0 ，二是判断前后两个解 xi 和 xi−1 是否无限接近。

经过 (xi,f(xi)) 这个点的切线方程为 f(x)=f(xi)+f′(xi)(x−xi) 其中， f′(x) 为 f(x) 的导数，本题中为 2x 。令切线方程等于 0 ，即可求出 xi+1=xi−f(xi)f′(xi)

继续化简

xi+1=xi−x2i−n2xi=xi−xi2+n2xi=xi2+n2xi

基于上述迭代公式，我们其实给出了一个求平方根的算法。事实上，这也的确是很多语言中内置的开平方函数的实现方法。

Leetcode上也有一道经典面试题目涉及到开平方函数的实现，如下

基于我们已经给出的牛顿迭代法，下面就可来编程解决该问题了，示例代码如下

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x ==0)  
        return 0;  
        double pre;  
        double cur = 1;  
        do  
        {  
        pre = cur;  
        cur = x / (2 * pre) + pre / 2.0;  
        } while (abs(cur - pre) > 0.00001);  
        return int(cur);  
    }
};