二分查找（Binary Search）是数据结构与算法课程中应该讲到的一个非常重要的内容。通常，二分查找算法可以借由递归的结构来实现，也可以通过迭代来实现。但是在实际应用中二分查找可能变化出许多更为复杂的形式，面对这些变种题目时能否得心应手地来处理，便考察了你是否真正掌握了二分查找的精髓。
关于二分查找（Binary Search）的基本内容，我们不打算在此赘述，如果你对这个问题本身不甚了解，也可以参考《算法之美——隐匿在数据结构背后的原理（C++版）》一书163页对应之内容。而本文主要讨论几个常见的二分查找变种题目。
言归正传，首先来看一道Leetcode题目（该题目的难道等级为Medium）:
显然，这道题目的意思是在说给定一个有序（非降序）数组 nums 和一个 target，如果target在数组中出现，返回位置，若不存在，返回它应该插入的位置。注意不能直接采用线性方法，本文中所有的题目都要使用Binary Search的方法来解决。
这里给出一个非递归的版本：
int searchInsert(int* nums, int numsSize, int target) {
int low=0, high=numsSize-1;
if(target > *(nums+high)) return high+1;
if(target < *(nums+ low)) return low;
while(low<=high)
{
int mid=(low+high)/2;
if(nums[mid]<target)
low =mid+1;
if(nums[mid]>target)
high=mid-1;
if(nums[mid]==target)
return mid;
}
return low;
} 下面我们把上述问题扩展，来看几个变种题目。
1、给定一个有序（非降序）数组 nums，可含有重复元素，求最小的下标 i 使得nums[i]等于target，不存在则返回-1。
就问题本身而言，这显然是要求target在数组中第一次出现的位置。注意，直接使用原始的二分查找并不可行。
#include <stdio.h>
int searchFirstPos(int* nums, int numsSize, int target)
{
if(numsSize <= 0) return -1;
int low = 0, high = numsSize-1;
while(low < high)
{
int mid = low +((high-low)>>1);
if( *(nums+mid) < target)
low = mid+1;
else // nums[mid] >= target
high = mid;
}
if(*(nums+low) != target)
return -1;
else
return low;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
int array[9] = {0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6};
printf("%d\n", searchFirstPos(array, 9, 3));
return 0;
}2、给定一个有序（非降序）数组nums，可含有重复元素，求最大的下标 i 使得nums[i]等于target，不存在则返回-1。
此题是求target在数组中最后一次出现的位置。处理思路与上一题基本一样，但是有个tricky是地方需要注意。主要是计算中间位置时不能用low+((high-low)>>1)，因为当low+1等于high且nums[low] <= target时，会导致死循环；所以这里要使用low+((high-low+1)>>1)，这样能够保证循环会正常结束。
#include <stdio.h>
int searchLastPos(int* nums, int numsSize, int target)
{
if(numsSize <= 0) return -1;
int low = 0, high = numsSize-1;
while(low < high)
{
int mid = low+((high-low+1)>>1);
if(nums[mid] > target)
high = mid-1;
else // nums[mid] <= target
low = mid;
}
if(*(nums+high) != target)
return -1;
else
return high;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
int array[9] = {0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6};
printf("Last Position is %d\n", searchLastPos(array, 9, 3));
return 0;
}3、给定一个有序（非降序）数组nums，可含有重复元素，求target在数组中出现的次数。
当然我们不能去一个一个数target出现了多少次，因为这样的复杂度是O(n)。如果要采样二分查找的方法，可以求出第一次出现位置和最后一次出现位置，然后再做差即可。由于searchFirstPos()和前面都已实现，这里不多解释。
#include <stdio.h>
int count(int nums[], int numsSize, int target)
{
int firstPos = searchFirstPos(nums, numsSize, target);
if(firstPos == -1)
return 0;
int lastPos = searchLastPos(nums, numsSize, target);
return lastPos-firstPos+1;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
int array[9] = {0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6};
printf("Appears %d times.\n", count(array, 9, 3));
return 0;
}4、给定一个有序（非降序）数组nums，可含有重复元素，求最小的下标i使得nums[i]大于target，不存在则返回-1。
显然，题目是要求大于target的最小元素的位置。循环过程中，当low大于0时，nums[low-1]是小于等于target的，因为nums[mid] <= target时，low=mid+1；当high小于n-1时，nums[high]是大于target的，因为nums[mid] > target时，high = mid；循环结束时，low 等于 high，所以，如果nums[high] 或 nums[low] 大于target， 那么high=low就是要找的位置，否则不存在这样的位置。
#include <stdio.h>
int searchFirstPosMoreThan(int *nums, int numsSize, int target)
{
if(numsSize <= 0) return -1;
int low = 0, high = numsSize-1;
while(low < high)
{
int mid = low+((high-low)>>1);
if( *(nums+mid) > target)
high = mid;
else // nums[mid] <= target
low = mid+1;
}
return nums[high] > target ? high : -1;
}
int main(int argc, const char * argv[])
{
int array[9] = {0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6};
printf("%d\n", searchFirstPosMoreThan(array, 9, 3));
printf("%d\n", searchFirstPosMoreThan(array, 9, 6));
return 0;
}5、
给定一个有序（非降序）数组nums，可含有重复元素，求最大的下标i使得nums[i]小于target，不存在则返回-1。
与之前的求解思路类似，这里不再赘述。
#include <stdio.h>
int searchLastPosLessThan(int *nums, int numsSize, int target)
{
if(numsSize <= 0) return -1;
int low = 0, high = numsSize-1;
while(low < high)
{
int mid = low+((high-low+1)>>1);
if(*(nums+mid) < target)
low = mid;
else // num[mid] >= target
high = mid-1;
}
return nums[low] < target ? low : -1;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
int array[9] = {0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6};
printf("%d\n", searchLastPosLessThan(array, 9, 4));
printf("%d\n", searchLastPosLessThan(array, 9, -1));
return 0;
}
（全文完）
