经典回溯算法(八皇后问题)详解(和课上老师讲的思路一样的)

 八皇后问题,是一个古老而著名的问题,是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出:

在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上

(斜率为1),问有多少种摆法。高斯认为有76种方案。

1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解,后来有人用图论的方法解出92种结果。

计算机发明后,有多种方法可以解决此问题。

算法思路:

     首先我们分析一下问题的解,我们每取出一个皇后,放入一行,共有八种不同的放法,

然后再放第二个皇后,同样如果不考虑规则,还是有八种放法。

于是我们可以用一个八叉树来描述这个过程。从根节点开始,树每增加一层,便是多放一个皇后,

直到第8层(根节点为0层),最后得到一个完全八叉树。  

紧接着我们开始用深度优先遍历这个八叉树,在遍历的过程中,进行相应的条件的判断。以便去掉不合规则的子树。

    那么具体用什么条件来进行子树的裁剪呢?

    我们先对问题解的结构做一个约定。

    用X[i]来表示,在第i行,皇后放在了X[i]这个位置。

    于是我们考虑第一个条件,不能再同一行,同一列于是我们得到x[i]不能相同。

剩下一个条件是不能位于对角线上,这个条件不是很明显,我们经过分析得到,

设两个不同的皇后分别在j,k行上,x[j],x[k]分别表示在j,k行的那一列上。

那么不在同一对角线的条件可以写为abs((j-k))!=abs(x[j]-x[k]),其中abs为求绝对值的函数。

[cpp] 
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  1. #include<iostream>  
  2. using namespace std;  
  3. int num;  
  4. int *x;  
  5. int sum;  
  6. bool place(int k)  
  7. {  
  8.     for(int j = 1;j<k;j++)  
  9.         if(abs(x[k] – x[j]) == abs(k-j)||x[j] == x[k])  
  10.             return false;  
  11.         return true;  
  12.   
  13. }  
  14. void backtrack(int t)  
  15. {  
  16.     if(t>num) //num为皇后的数目  
  17.     {  
  18.         sum++;//sum为所有的可行的解  
  19.         for(int m = 1;m<=num;m++)  
  20.         {  
  21.             cout<<“<“<<m<<“,”<<x[m]<<“>”;//这一行用输出当递归到叶节点的时候,一个可行解  
  22.         }  
  23.         cout<<endl;  
  24.     }  
  25.     else  
  26.         for(int i = 1;i<=num;i++)  
  27.         {  
  28.             x[t] = i;  
  29.             if(place(t))   
  30.                 backtrack(t+1);//此处的place函数用来进行我们上面所说的条件的判断,如果成立,进入下一级递归  
  31.         }  
  32. }  
  33. void main()  
  34. {  
  35.     num = 8;  
  36.     sum = 0;  
  37.     x = new int[num+1];  
  38.     for(int i= 0;i<=num;i++)  
  39.         x[i] = 0;  
  40.     backtrack(1);  
  41.     cout<<“方案共有”<<sum<<endl;  
  42.     delete []x;  
  43.   
  44.       
  45. }  

https://blog.csdn.net/u014082714/article/details/44901575

    原文作者:八皇后问题
    原文地址: https://blog.csdn.net/eric_e/article/details/80457976
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