今天要写的是算法是源于八皇后问题，但在这里为了说明普遍性，直接介绍N皇后问题，与八皇后问题思路一样。
一、问题描述：
在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于再n×n的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不妨在同一行或同一列或同一斜线上。
输入：
给定棋盘的大小n (n ≤ 13)
输出：
输出有多少种放置方法。
二、解题思路：
要解决N皇后问题，其实就是要解决好怎么放置这n个皇后，每一个皇后与前面的所有皇后不能在同一行、同一列、同一对角线，在这里我们可以以行优先，就是说皇后的行号按顺序递增，只考虑第i个皇后放置在第i行的哪一列，所以在放置第i个皇后的时候，可以从第1列判断起，如果可以放置在第1个位置，则跳到下一行放置下一个皇后。如果不能，则跳到下一列…直到最后一列，如果最后一列也不能放置，则说明此时放置方法出错，则回到上一个皇后向之前放置的下一列重新放置。此即是回溯法的精髓所在。当第n个皇后放置成功后，即得到一个可行解，此时再回到上一个皇后重新放置寻找下一个可行解…如此后，即可找出一个n皇后问题的所有可行解。
三、复杂度分析：
关于N皇后问题的复杂度问题可以说是众说纷纭了，自己也改变过好几次，刚开始以为棋盘是n行n列，所以理所当然应该是n^2,后来发现在每列选择可否放置的比较上又做了一次循环，所以应该是n^3，但想了很久，发现判断可否放置的时候不是每次都循环到n,它是根据皇后i的取值而变化的，所以复杂度应该是1/3 n^3左右，即是小于n^3的。
四、测试代码：
在这里我写了两个实现方法，一个是递归回溯，一个是迭代回溯，思路都一样，只是形式不同罢了。
递归回溯：
// N皇后问题.cpp : Defines the entry point for the console application.
//回溯法解n皇后问题1
#include “stdafx.h”
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
class Queen
{
friend int nQueen(int);
private:
bool Place(int k);
void Backtrack(int t);
int n, //皇后个数
*x; //当前解
long sum; //当前已找到的可行方案数
};
//判断函数，判断第k个皇后是否可以放在某一个位置k处
//如果与之前的皇后出现在同一列或同一对角线则放置失败，返回false，否则返回true
bool Queen::Place(int k)
{
for(int j=1;j<k;j++)
{
if((abs(k-j)==abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k]))
return false;
}
return true;
}
void Queen::Backtrack(int t)
{
if(t>n && n>0) //当放置的皇后超过n时，可行解个数加1
{
sum++;
cout<<“第“<<sum<<“种放法为：“<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cout<<x[i]<<” “;
}
cout<<endl;
}
else
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
x[t]=i; //表明第t个皇后放在第i列
if(Place(t)) //如果可以放在某一位置，则继续放下一皇后
{
Backtrack(t+1);
}
}
}
}
int nQueen(int n)
{
Queen X;
//初始化X
X.n=n;
X.sum=0;
int *p = new int[n+1];
for(int i=0;i<n;i++)
{
p[i]=0;
}
X.x=p;
X.Backtrack(1);
delete []p;
return X.sum;
}
void main()
{
cout<<“***回溯法解n皇后问题1***”<<endl;
int n;
int *x;
int i;
while(i)
{
cout<<“请输入皇后的个数：“<<endl;
cin>>n;
x=new int[n];
int b=nQueen(n);
cout<<“问题的解有总共有：“<<b<<“个“<<endl;
cout<<“Press<1> to run again “<<endl;
cout<<“Press<0> to exit”<<endl;
cin>>i;
}
迭代回溯：
// n皇后问题2.cpp : Defines the entry point for the console application.
//回溯法解n皇后问题2(迭代回溯)
#include “stdafx.h”
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
class Queen
{
friend int nQueen(int);
private:
bool Place(int k);
void Backtrack(void);
int n, //皇后的个数
*x; //当前解
long sum;
};
bool Queen::Place(int k)
{
for(int j=1;j<k;j++)
{
if((abs(j-k)==abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k]))
return false;
}
return true;
}
void Queen::Backtrack(void)
{
x[1]=0;
int k=1;
while(k>0)
{
x[k]+=1;
while((x[k]<=n) && !(Place(k)))
{
x[k]+=1;
}
if(x[k]<=n)
{
if(k==n)
{
sum++;
cout<<“第“<<sum<<“种放法为：“<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cout<<x[i]<<” “;
}
cout<<endl;
}
else
{
k++;
x[k]=0;
}
}
else
k–;
}
}
int nQueen(int n)
{
Queen X;
//初始化X
X.n=n;
X.sum=0;
int *p = new int[n+1];
for(int i=0;i<n;i++)
{
p[i]=0;
}
X.x=p;
X.Backtrack();
delete []p;
return X.sum;
}
void main()
{
cout<<“***回溯法解n皇后问题2(迭代回溯)***”<<endl;
int n;
int *x;
int i;
while(i)
{
cout<<“请输入皇后的个数：“<<endl;
cin>>n;
x=new int[n];
int b=nQueen(n);
cout<<“问题的解有总共有：“<<b<<“个“<<endl;
cout<<“Press<1> to run again “<<endl;
cout<<“Press<0> to exit”<<endl;
cin>>i;
}
}
迭代回溯的注释因为和递归回溯差不多，所以就不再附注了。在这里我们可以看到，递归回溯非常简单，结构很清晰，但它有一个潜在的问题存在，即当随着变量n的增大，递归法的复杂度也将成几何级增长，也有可能会出现重复的情况，所以我们在解决问题时，如果能用迭代法解决，最好还是不要用递归法，除非你已经对这个递归了如指掌了。
通过这个N皇后问题，我想大概已经把回溯法讲得很清楚了吧，回溯法得到的解展开就是一个树，很多方法都是可以通过回溯法来解决的，效率很高，但如果基数过大的话，回溯法就显得不是那么适用了，这也是回溯法的弱势吧。比如说这个N皇后问题，好像当n>60的时候，回溯法就不能完全地解决问题了，这时可以考虑用概率算法来解决，它可以解决很大的基数，只不过结果不是很精确而已。所以我们在面对一个问题时，具体是使用什么算法还是要结合实际情况来考虑的，目的都是更方便、更准确地解决问题。
