任选两个自然数，它们互质的概率是多少？

它就是 s = 2 s = 2 s=2时欧拉乘积公式右边的连乘的倒数，因此它等于 s = 2 s = 2 s=2时欧拉乘积公式左边的连加的倒数，即 1 / ζ ( 2 ) 1/ζ(2) 1/ζ(2)。而 ζ ( 2 ) = π 2 / 6 ζ(2) = π^2/6 ζ(2)=π2/6，因此这个概率等于 6 / π 2 ≈ 0.6079 6/π^2 ≈ 0.6079 6/π2≈0.6079。同样的，三个自然数互质的概率是 1 / ζ ( 3 ) ≈ 0.8319 1/ζ(3) ≈ 0.8319 1/ζ(3)≈0.8319，四个自然数互质的概率是 1 / ζ ( 4 ) ≈ 0.9239 1/ζ(4) ≈ 0.9239 1/ζ(4)≈0.9239。

欧拉乘积公式： ∑ n n − s = ∏ p ( 1 − p − s ) − 1 \sum_nn^{−s}= \prod_p(1−p^{−s}) −1 n∑​n−s=p∏​(1−p−s)−1