阵列导向矢量（Steering vector）详细推导
在毫米波信道模型中，常见的建模方式为Saleh-Valenzuela信道模型，其涉及天线阵列的导向矢量，其实描述的是相邻接收天线之间的信号相位差，相位差进一步通过路程差反应出来，本文推导出均匀线阵（ULA）和均匀平面阵（UPA）天线阵列的steering vector:
ULA：
相邻天线间的间距为 d d d,入射夹角为 θ \theta θ,则路程差如图为 d ∗ s i n ( θ ） d*sin(\theta） d∗sin(θ）,相位差则为 2 π d s i n ( θ ) / λ 2\pi dsin(\theta)/\lambda 2πdsin(θ)/λ,以左边第一个天线为参考点，steering vector 表示为：
a = [ 1 , e j 2 π λ d sin ( θ ) , . . . , e j 2 π λ d ( N − 1 ) sin ( θ ) ] T a = {[1,{e^{j\frac{ {2\pi }}{\lambda }d\sin \left( \theta \right)}},…,{e^{j\frac{ {2\pi }}{\lambda }d\left( {N – 1} \right)\sin \left( \theta \right)}}]^T} a=[1,ejλ2πdsin(θ),...,ejλ2πd(N−1)sin(θ)]T
其中 N N N为天线个数。
UPA：
结论如下：对于长为 N Z N_Z NZ,宽为 N Y N_Y NY的UPA天线，其对应方位角为 φ \varphi φ，仰角为 θ \theta θ,相邻天线间间距为 d d d,其导向矢量为 a = a z ⊗ a y a = {a_z} \otimes {a_y} a=az⊗ay，其中：
a z = [ 1 , e j 2 π λ d sin ( θ ) , . . . , e j 2 π λ d ( N Z − 1 ) sin ( θ ) ] T {a_z} = {[1,{e^{j\frac{ {2\pi }}{\lambda }d\sin \left( \theta \right)}},…,{e^{j\frac{ {2\pi }}{\lambda }d\left( { {N_Z} – 1} \right)\sin \left( \theta \right)}}]^T} az=[1,ejλ2πdsin(θ),...,ejλ2πd(NZ−1)sin(θ)]T
a y = [ 1 , e j 2 π λ d sin ( φ ) cos ( θ ) , . . . , e j 2 π λ d ( N Y − 1 ) sin ( φ ) cos ( θ ) ] T {a_y} = {[1,{e^{j\frac{ {2\pi }}{\lambda }d\sin \left( \varphi \right)\cos \left( \theta \right)}},…,{e^{j\frac{ {2\pi }}{\lambda }d\left( { {N_Y} – 1} \right)\sin \left( \varphi \right)\cos \left( \theta \right)}}]^T} ay=[1,ejλ2πdsin(φ)cos(θ),...,ejλ2πd(NY−1)sin(φ)cos(θ)]T
Remark: 由于方位角及仰角的定义不同，阵列矢量通常不同，视情况而定。
推导如下：
