椭圆曲线公钥密码体制
1.椭圆曲线的加法
1.1依据
如果在椭圆曲线上有3个点存在于一条直线上，则它们的和为无穷远点。其中无穷远点即为 O O O.
1.2 点P和点-P相加
点P和点-P相加的和为无穷远点。
1.3 点P和点Q相加
设连接点P和Q的直线，交椭圆曲线于点R，则点P和点Q的和为点-R.
1.4 求点P的2倍
通过点P作曲线的切线，交曲线于另一点R,则2P = -R.
1.4.1求点P的2倍的特例
若点P的切线的斜率是0(我不知道这里为什么说是0，我觉得应该是不存在），则2P = O, 3P = P, 4P = O, 5P = P…
2.有限域上的椭圆曲线
2.1 定义
对于曲线 y 2 = x 3 + a x + b ( m o d p ) y^2 = x^3 + ax+ b(mod \ p ) y2=x3+ax+b(mod p)，a,b为小于p的整数。当 4 a 3 + 27 b 2 ( m o d p ) 4a^3 + 27 b^2 (mod\ p) 4a3+27b2(mod p)不为零时，构成有限域 F p F_p Fp上的椭圆曲线群。记为 E p ( a , b ) E_p(a,b) Ep(a,b)
2.2 补充知识：平方剩余
https://chenglinyu.blog.csdn.net/article/details/89081707
2.3 有限域上的椭圆曲线的点的构造
- 对于每一个 x ( 0 < = x < p ) x(0<=x<p) x(0<=x<p),计算 z = x 3 + a x + b ( m o d p ) z = x^3 + ax + b(mod\ p) z=x3+ax+b(mod p); (该等式的右半部分恰恰就是椭圆曲线方程的右半部分，左侧是 y 2 y^2 y2)
- 若z不是模p有限域的平方剩余（也称为模p的平方根），则没有具有x值的 E p ( a , b ) E_p(a,b) Ep(a,b)点。
- 若z是模p的平方根，则存在满足条件的两个点
2.3.1 椭圆曲线 E 23 ( 1 , 0 ) E_{23}(1,0) E23(1,0)的点的构造
这一句话透露了三个信息
- p = 23
- a = 1
- b = 0
所以椭圆曲方程为：
y 2 = x 3 + x ( m o d 23 ) ( 0 < = x < 23 ) y^2 = x^3 + x (mod \ 23) \ (0<=x<23) y2=x3+x(mod 23) (0<=x<23)
所以对没有每一个 0 < = x < 23 0<=x<23 0<=x<23,开始遍历。
x = 0, 计算 z = 0 + 0 ( m o d 23 ) = 0 z= 0 + 0(mod 23) = 0 z=0+0(mod23)=0,计算
x = 1 , z = 2 ( m o d 23 ) x = 1, z = 2 (mod\ 23) x=1,z=2(mod 23)
2 11 ≡ 1 ( m o d 23 ) 2^{11}\equiv 1 (mod 23) 211≡1(mod23)
所以存在两个平方根。一个y是5，一个y则是-5(mod 23) $\equiv $ 18(mod 23).
我们学习密码学，头脑中一定要时刻装着有限域的概念，不要还停留在实数的角度去思考问题
所以对应的两个点是(1,5),(1,18)
依次类推。
3.有限域上两个点的加法
注意：所有运算都是在模23上的有限域上的运算，所以除法就是求模23的乘法逆元，求乘法逆元的方法是扩展的欧几里得算法，另外不要轻易约分，一定要是与23互素的公因子才能约分，具体参见《初等数论及其应用》推论4.4.1
