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使用主定理求解递归式
主定理是分治算法分析中非常重要的定理。
如，我们要处理一个 规模为 的问题通过分治，得到
个规模为
的问题，分解子问题和合并子问题的时间是
：
在上面这个式子里，我们得要求 (如果
时，递推无意义)，
是渐进意义上的正数。
回顾一下， 和
的含义：
-
个子问题，即
- 每个子问题的规模是
；
- 分治算法共三部分，分治合，而
就是分+合的时间。
和
，向下取整和向上取整的细节，并不会影响主定理的推导，具体的数学证明，略。
如果对分治算法不熟悉，建议先看《递推式分析》。
而后呢，根据上面的式子我们会得到三种情况：
- 若有实数大于零(
)，
，则
；
- 若
，则
；
- 若有实数大于零(
，且有一个实数小于一(
)，使得较大的
，满足
，这时候则
。
这三种情况看起来很复杂，搞清楚他们之间的关系，快速记忆就简单了。
对于三种情况的每一种，我们将函数 与
比较，俩个函数较大者将决定递归式的解。
- 若函数
更大，如情况1，则解是
。
- 若函数
- 若俩个函数相等，如情况2，则乘上一个对数因子，解为
- 上面的三种情况并未覆盖
首先，得明白一个基准函数：。
有了基础函数之后，就可以根据 TA 来判定情形之间的关系。
那我们该如何记忆这个基准函数呢 ？？
原来的函数是：，
为底数，如果化为对数形式也是以
为底(
)；
原函数是一个多项式， 和
都是常数，算出来肯定也是一个具体的数值。
所以，我们要记这样一个基准多项式(基准函数)：，次方(即
)是取对数的。
接下来，是以上三种情况的判定：
；
；
。
? 算例 ?
算例1： (乐高铺积木)
分析，，基准函数是
，因为
，所以基准函数是
。
那 又是什么呢 ？？？
，
比基准函数
要弱，我们取一个实数(
) ，即
。
得到 .
算例2： (二分查找)
分析，，基准函数是
，因为
，所以基准函数是
。
那 又是什么呢 ？？？
，基准函数也是
，
= 基准函数，再乘上一个
，即
。
算例3： (归并排序)
分析，，基准函数是
，因为
，所以基准函数是
。
那 又是什么呢 ？？？
，基准函数也是
，
= 基准函数，最后
。
算例4： (Strassen 算法)
分析，，基准函数是
，大概是
。
那 又是什么呢 ？？？
，基准函数是
在这基础上减去 0.1 即俩者相等
，最后
。
算例5： (摘自《算法导论》)
分析，，基准函数是
，大概是
。
那 又是什么呢 ？？？
，
比
要强，
(取 0.1 依然比
大)，
。
强的话，再看看是否满足 。
把 代入：
。
得到 ，
，满足条件，因此
。
证明主定理
已经知道了基准(函数)怎么使用，可我们还不知道为什么会得到若干个渐进记号，我们会使用递归树来证明。
假设 ，每一次除以
，除
次会为 1。
举个例子，
我们想知道的是，。
从上面的式子看出 ：
-
即基准函数；
-
注重的是 基准函数 和
-
是递归树的高度。
在递归树上证明时，我们写的简单些，直接把结点 f(m) 调用开销画上去。
- 第一层的代价是：
- 第二层的代价是：
；
- 第三层的代价是：
；
-
- 负一层的代价是：
整个递归树高度是 ，总的代价是：
。
这些项会造成什么影响 ？
对于 的影响，我们要分析三种情况：
总个的表达式：
- 第一种情况：
，我们求的就是这个项 ：
。
思考一下，我们能不能这个式子化为等比数列 ？
无关的项： 提出来，里面是
。
，
，
。
得出，。
- 第二种情况：
，我们求的就是这个项 ：
。
把 提出来，里面是
。
，消掉后
这个求和就是对一求和，那是多少个一呢 ？
一共 个一，这个结果也等同于
。
- 第三种情况：
，我们求对就是这个项：
这个证明会麻烦一些，因为多了一个条件：。
形成一个 的等比数列，而
在里头保持不变，可以挪出来。
而这些等比数列最终加起来也不会超过 ，因此
乘的，也是一个常数项，总时间是
。
