6.1 二叉树的定义与性质

6.1.1 二叉树的基本概念

1.二叉树

二叉树(Binary Tree)是个有限元素的集合,该集合或者为空、或者由一个称为根(root)的元素及两个不相交的、被分别称为左子树和右子树的二叉树组成。当集合为空时,称该二叉树为空二叉树。在二叉树中,一个元素也称作一个结点。

二叉树是有序的,即若将其左、右子树颠倒,就成为另一棵不同的二叉树。即使树中结点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。因此二叉树具有五种基本形态,如图6.1 所示。

《6.1 二叉树的定义与性质》

2.二叉树的相关概念

(1)结点的度。结点所拥有的子树的个数称为该结点的度。

(2)叶结点。度为0 的结点称为叶结点,或者称为终端结点。
(3)分枝结点。度不为0 的结点称为分支结点,或者称为非终端结点。一棵树的结点除叶结点外,其余的都是分支结点。
(4)左孩子、右孩子、双亲。树中一个结点的子树的根结点称为这个结点的孩子。这个结点称为它孩子结点的双亲。具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。
(5)路径、路径长度。如果一棵树的一串结点n1,n2,…,nk 有如下关系:结点ni 是ni+1的父结点(1≤i<k),就把n1,n2,…,nk 称为一条由n1 至nk 的路径。这条路径的长度是k-1。
(6)祖先、子孙。在树中,如果有一条路径从结点M 到结点N,那么M 就称为N的祖先,而N 称为M 的子孙。
(7)结点的层数。规定树的根结点的层数为1,其余结点的层数等于它的双亲结点的层数加1。
(8)树的深度。树中所有结点的最大层数称为树的深度。
(9)树的度。树中各结点度的最大值称为该树的度。
(10)满二叉树。
在一棵二叉树中,如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子结点都在同一层上,这样的一棵二叉树称作满二叉树。如图6.2 所示,(a)图就是一棵满二叉树,(b)图则不是满二叉树,因为,虽然其所有结点要么是含有左右子树的分支结点,要么是叶子结点,但由于其叶子未在同一层上,故不是满二叉树。

《6.1 二叉树的定义与性质》

(11)完全二叉树。
一棵深度为k 的有n 个结点的二叉树,对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号,如果编号为i(1≤i≤n)的结点与满二叉树中编号为i 的结点在二叉树中的位置相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。

完全二叉树的特点是:叶子结点只能出现在最下层和次下层,且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然,一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树,而完全二叉树未必是满二叉树。如图6.3 所示(a)为一棵完全二叉树,(b)和图6.2(b)都不是完全二叉树

《6.1 二叉树的定义与性质》

6.1.2 二叉树的主要性质

性质1 一棵非空二叉树的第i 层上最多有2^(i-1) 个结点(i≥1)。该性质可由数学归纳法证明。证明略。

性质2 一棵深度为k 的二叉树中,最多具有2^k-1 个结点。

证明设第i 层的结点数为xi(1≤i≤k),深度为k 的二叉树的结点数为M,xi 最多为2^(i-1),则有:

《6.1 二叉树的定义与性质》

性质3 对于一棵非空的二叉树,如果叶子结点数为n0,度数为2 的结点数为n2,则有: n0=n2+1。

证明设n 为二叉树的结点总数,n1 为二叉树中度为1 的结点数,则有:

n=n0+n1+n2 (6-1)

在二叉树中,除根结点外,其余结点都有唯一的一个进入分支。设B 为二叉树中的分支数,那么有:

B=n-1 (6-2)

这些分支是由度为1 和度为2 的结点发出的,一个度为1 的结点发出一个分支,一个度为2 的结点发出两个分支,所以有:

B=n1+2n2 (6-3)

综合(6-1)、(6-2)、(6-3)式可以得到:

n0=n2+1

性质4 具有n 个结点的完全二叉树的深度k 为[log2n]+1。

证明根据完全二叉树的定义和性质2 可知,当一棵完全二叉树的深度为k、结点个数为n 时,有

《6.1 二叉树的定义与性质》

性质5 对于具有n 个结点的完全二叉树,如果按照从上至下和从左到右的顺序对二叉树中的所有结点从1 开始顺序编号,则对于任意的序号为i 的结点,有:
(1)如果i>1,则序号为i 的结点的双亲结点的序号为i/2(“/”表示整除);如果i=1,则序号为i 的结点是根结点,无双亲结点。
(2)如果2i≤n,则序号为i 的结点的左孩子结点的序号为2i;如果2i>n,则序号为i 的结点无左孩子。
(3)如果2i+1≤n,则序号为i 的结点的右孩子结点的序号为2i+1;如果2i+1>n,则序号为i 的结点无右孩子。

此外,若对二叉树的根结点从0 开始编号,则相应的i 号结点的双亲结点的编号为(i-1)/2,左孩子的编号为2i+1,右孩子的编号为2i+2。此性质可采用数学归纳法证明。证明略。

    原文作者:算法小白
    原文地址: https://www.cnblogs.com/chunlanse2014/articles/4536550.html
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
点赞

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注