因为fibnacci数列太神奇了，性质非常多而且值得推导研究，记录一篇笔记并且慢慢扩展补充，希望能有所收获。
定义
斐波那契数列的定义者，是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的莱昂纳多”。
性质
fibnacci数列的递推：
f i b [ n ] = f i b [ n − 1 ] + f i b [ n − 2 ] fib[n]=fib[n-1]+fib[n-2] fib[n]=fib[n−1]+fib[n−2]数学通项公式(比内公式)
fib[n]= 1 5 \frac{1}{\sqrt{5}} 5 1 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] [ (\frac{1+\sqrt5}{2} )^{n} – ({\frac{1-\sqrt5}{2}})^{n} ] [(21+5 )n−(21−5 )n]fibnacci数列的第n项与第m项的最大公约数等于第 （n与m的最大公约数）项的值
g c d ( f i b [ n ] , f i b [ m ] ) = f i b ( g c d ( n , m ) ) gcd( fib[n], fib[m] ) = fib( gcd(n,m) ) gcd(fib[n],fib[m])=fib(gcd(n,m))
详细证明和使用，结合洛谷P1306-斐波那契公约数这篇题解理解使用即可。
fibnacci数列前n项和等于数列第n+2项的值减1
求和公式的扩展，证明可以直接用高中的归纳法。
∑ 1 n f i b [ i ] \sum^{n}_{1}fib[i] ∑1nfib[i] = f i b [ n + 2 ] − 1 =fib[n+2]-1 =fib[n+2]−1平方与前后项
f i b [ n ] 2 − f i b [ n + 1 ] ∗ f i b [ n − 1 ] = ( − 1 ) n − 1 {fib[n]^{2}-fib[n+1]*fib[n-1]={(-1)}^{n-1}} fib[n]2−fib[n+1]∗fib[n−1]=(−1)n−1平方前缀和
∑ 1 n f i b [ i ] 2 = f i b [ n ] ∗ f i b [ n + 1 ] \sum^{n}_{1}{fib[i]}^{2}=fib[n]*fib[n+1] ∑1nfib[i]2=fib[n]∗fib[n+1]fibnacci数列与连分数与黄金分割
对于 x = 1 1 + x x=\frac{1}{1+x} x=1+x1,初始值x=1，把当前的计算结果继续带入这个式子，可以得到：
1 1 = 1 1 \frac{1}{1}=\frac{1}{1} 11=11
1 1 + 1 = 1 2 \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} 1+11=21
1 1 + 1 1 + 1 = 2 3 \frac{1}{\frac{}{1+\frac{1}{1+1}}}=\frac{2}{3} 1+1+111=32
1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 = 3 5 \frac{1}{ 1+\frac{1}{\frac{}{1+\frac{1}{1+1}}} }=\frac{3}{5} 1+1+1+1111=53
…
显然每一项的结果都是fibnacci数列的相邻两项的商，最终的结果越来越趋近黄金分割率 5 − 1 2 \frac{\sqrt{5}-1}{2} 25 −1
