一、Rolle中值定理
定义：
若函数 f(x) 满足 { f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导f(a)=f(b) ，则存在 ε∈(a,b) ，使

f′(ε)=0 成立。

二、Lagrange中值定理
定义：
若函数 f(x) 满足 f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导 ，则存在 ε∈(a,b) ，使

f′(ε)=f(b)−f(a)b−a 成立。

由Lagrange中值定理可以推导出：
如果函数 f(x) 在区间 I 上连续， I 内可导且导数恒为零，则 f(x) 在区间 I 上是一个常数。

三、Cauchy中值定理
定义：
若函数 f(x)和F(x) 满足 { f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导对任一x∈(a,b)，都有F′(x)≠0 ，则存在 ε∈(a,b) ，使

f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ε)F′(ε) 成立。

以上三大中值定理，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特殊形式，Lagrange中值定理是Cauchy中值定理的特殊形式。

当 F(x)=x 时， f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ε)F′(ε)⇐⇒f′(ε)=f(b)−f(a)b−a

当 f(a)=f(b) 时， f′(ε)=f(b)−f(a)b−a⇐⇒f′(ε)=0