势函数法

势函数主要用于确定分类面，其思想来源于物理。

1 势函数法基本思想

• 假设要划分属于两种类别 ω1

和 ω2
的模式样本，这些样本可看成是分布在 n
维模式空间中的点 xk

• 。
• 把属于 ω1
• 的点比拟为某种能源点，在点上，电位达到峰值。
• 随着与该点距离的增大，电位分布迅速减小，即把样本 xk 附近空间 x 点上的电位分布，看成是一个势函数 K(x,xk)
• 。
• 对于属于 ω1
• 的样本集群，其附近空间会形成一个”高地”，这些样本点所处的位置就是”山头”。
• 同理，用电位的几何分布来看待属于 ω2
  • 的模式样本，在其附近空间就形成”凹地”。
  • 只要在两类电位分布之间选择合适的等高线，就可以认为是模式分类的判别函数。

   

  2. 判别函数的产生

  • 模式分类的判别函数可由分布在模式空间中的许多样本向量 { xk,k=1,2,⋯且,xk∈ω1∪w2}
• 的势函数产生。
• 任意一个样本所产生的势函数以 K(x,xk) 表征，则判别函数 d(x) 可由势函数序列 K(x,x1),K(x,x2),⋯ 来构成，序列中的这些势函数相应于在训练过程中输入机器的训练模式样本 x1,x2,⋯
• 。
• 在训练状态，模式样本逐个输入分类器，分类器就连续计算相应的势函数，在第 k
• 步迭代时的积累位势决定于在该步前所有的单独势函数的累加。
• 以 K(x) 表示积累位势函数，若加入的训练样本 xk+1
  • 是错误分类，则积累函数需要修改，若是正确分类，则不变。

   

  3.判别函数产生逐步分析

      设初始势函数 K0(x)=0

      第一步：加入第一个训练样本 x1

  ，

  则有  

  K1(x)={ K(x,x1)−K(x,x1)ifx1∈ω1ifx1∈ω2

  这里第一步积累势函数 K1(x)

  描述了加入第一个样本时的边界划分。当样本属于 ω1 时，势函数为正；当样本属于 ω2

  时，势函数为负。

        第二步：加入第二个训练样本 x2

  ，

  则有

  1. 若 x2∈ω1

  且 K1(x2)>0 ，或 x2∈ω2 且 K1(x2)<0 ，则分类正确，此时 K2(x)=K1(x)

• ，即积累势函数不变。
• 若 x2∈ω1 且 K1(x——2)<0 ，则 K2(x)=K1(x)+K(x,x2)=±K(x,x1)+K(x,x2)
• 若 x2∈ω2 且 K1(x2)>0
  1. ，则

  K2(x)=K1(x)−K(x,x2)=±K(x,x1)−K(x,x2)

       以上（ii）、（iii）两种情况属于错分。假如 x2

  处于 K1(x) 定义的边界的错误一侧，则当 x∈ω1 时，积累位势 K2(x) 要加 K(x,x2) ，当 x∈ω2 时，积累位势 K2(x) 要减 K(x,x2)

  。

        第 K

  步：设 Kk(x) 为加入训练样本 x1,x2,⋯,xk 后的积累位势，则加入第 (k+1) 个样本时， Kk+1(x)

  决定如下：

  1. 若 xk+1∈ω1

  且 Kk(xk+1)>0 ，或 xk+1∈ω2 且 Kk(xk+1)<0 ，则分类正确，此时 Kk+1(x)=Kk(x)

  ，即积累位势不变。

  2. 若 xk+1∈ω1

  且 Kk(xk+1)<0 ，则 Kk+1(x)=Kk(x)+K(x,xk+1)

  ;

  3. 若 xk+1∈ω2

  且 Kk(xk+1)>0 ，则 Kk+1(x)=Kk(x)−K(x,xk+1)

  .

       因此，积累位势的迭代运算可写成： Kk+1(x)=Kk(x)+rk+1K(x,xk+1)

  ， rk+1

  为校正系数：     

  rk+1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪001−1ifxk+1∈ω1andKk(xk+1)>0ifxk+1∈ω2andKk(xk+1)<0ifxk+1∈ω1andKk(xk+1)<0ifxk+1∈ω2andKk(xk+1)>0

        若从给定的训练样本集 x1,x2,⋯,xk,⋯

  中去除不使积累位势发生变化的样本，即使 Kj(xj+1)>0 且 xj+1∈ω1 ，或 Kj(xj+1)<0 且 xj+1∈ω2 的那些样本，则可得一简化的样本序列 { x⌢1,x⌢2,…,x⌢j,…}

  ，它们完全是校正错误的样本。此时，上述迭代公式可归纳为：

  Kk+1(x)=∑x⌢jajK(x,x⌢j)

  其中         

  aj={ +1−1forx⌢j∈ω1forx⌢j∈ω2

  也就是说，由 k+1

  个训练样本产生的积累位势，等于 ω1 类和 ω2

  类两者中的校正错误样本的总位势之差。

   

        从势函数可以看出，积累位势起着判别函数的作用：当 xk+1

  属于 ω1 时， Kk(xk+1)>0 ；当 xk+1 属于 ω2 时， Kk()xk+1<0

  ，则积累位势不做任何修改就可用作判别函数。

  由于一个模式样本的错误分类可造成积累位势在训练时的变化，因此势函数算法提供了确定 ω1

  和 ω2 两类判别函数的迭代过程。判别函数表达式：取 d(x)=K(x) ，则有： dk+1(x)=dk(x)+rk+1K(x,xk+1)

  .

   

  4 构成势函数的两种方式：

      第一类势函数和第二类势函数 

       第一类势函数：

       可用对称的有限多项式展开，即：

  K(x,xk)=∑i=1mϕi(x)ϕi(xk)

  其中{ }在模式定义域内为正交函数集。将这类势函数代入判别函数，有：

  dk+1(x)=dk(x)+rk+1∑i=1mϕi(xk+1)ϕi(x)=dk(x)+∑i=1mrk+1ϕi(xk+1)ϕi(x)

  得迭代关系：

  dk+1(x)=∑i=1mCi(k+1)ϕi(x)

  其中

  Ci(k+1)=Ci(k)+rk+1ϕi(xk+1)

  因此，积累位势可写成：

  Kk+1(x)=∑i=1mCi(k+1)ϕi(x)

  $C_i$可用迭代式求得。 

       第二类势函数：

       选择双变量 x

  和$x_k_$的对称函数作为势函数，即$K(x, x_k) = K(x_k, x)$，并且它可展开成无穷级数，例如：

  (a)  K(x,xk)=e−α∥x−xk∥2

  (b)   K(x,xk)=11+α∥x−xk∥2

  , α

  是正常数

  (c)  K(x,xk)=∣∣∣sinα∥x−xk∥2α∥x−xk∥2∣∣∣

  

   

  5.势函数法

  实例1：用第一类势函数的算法进行分类

  1. 选择合适的正交函数集{ }

  选择Hermite多项式，其正交域为(-∞, +∞)，其一维形式是

  

  

  其正交性：

  其中，H_k(x)前面的乘式为正交归一化因子，为计算简便可省略。因此，Hermite多项式前面几项的表达式为

  H₀(x)=1,        H₁(x)=2x,        H₂(x)=4x²-2,

  H₃(x)=8x³-12x,        H₄(x)=16x⁴-48x²+12

  1. 建立二维的正交函数集

  二维的正交函数集可由任意一对一维的正交函数组成，这里取四项最低阶的二维的正交函数

  

  

  

  

  1. 生成势函数

  按第一类势函数定义，得到势函数

  

  其中，

  1. 通过训练样本逐步计算累积位势K(x)

  给定训练样本：ω₁类为x_①=(1 0)^T, x_②=(0 -1)^T

  ω₂类为x_③=(-1 0)^T, x_④=(0 1)^T

  累积位势K(x)的迭代算法如下

  第一步：取x_①=(1 0)^T∈ω₁，故

  K₁(x)=K(x, x_①)=1+4x₁·1+4x₂·0+16x₁x₂·1·0=1+4x₁

  第二步：取x_②=(0 -1)^T∈ω₁，故K₁(x_②)=1+4·0=1

  因K₁(x_②)>0且x_②∈ω₁，故K₂(x)=K₁(x)=1+4x₁

  第三步：取x_③=(-1 0)^T∈ω₂，故K₂(x_③)=1+4·(-1)=-3

  因K₂(x_③)<0且x_③∈ω₂，故K₃(x)=K₂(x)=1+4x₁

  第四步：取x_④=(0 1)^T∈ω₂，故K₃(x_④)=1+4·0=1

  因K₃(x_④)>0且x_④∈ω₂，

  故K₄(x)=K₃(x)-K(x,x_④)=1+4x₁-(1+4x₂)=4x₁-4x₂

  将全部训练样本重复迭代一次，得

  第五步：取x_⑤=x_①=(1 0)^T∈ω₁，K₄(x_⑤)=4

  故K₅(x)=K₄(x)=4x₁-4x₂

  第六步：取x_⑥=x_②=(0 -1)^T∈ω₁，K₅(x_⑥)=4

  故K₆(x)=K₅(x)=4x₁-4x₂

  第七步：取x_⑦=x_③=(-1 0)^T∈ω₂，K₆(x_⑦)=-4

  故K₇(x)=K₆(x)=4x₁-4x₂

  第八步：取x_⑧=x_④=(0 1)^T∈ω₂，K₇(x_⑧)=-4

  故K₈(x)=K₇(x)=4x₁-4x₂

  以上对全部训练样本都能正确分类，因此算法收敛于判别函数

  d(x)= 4x₁-4x₂

  

   

  实例2：用第二类势函数的算法进行分类

   

   

  选择指数型势函数，取α=1，在二维情况下势函数为

  

  这里：ω₁类为x_①=(0 0)^T, x_②=(2 0)^T

  ω₂类为x_③=(1 1)^T, x_④=(1 -1)^T

  可以看出，这两类模式是线性不可分的。算法步骤如下：

  第一步：取x_①=(0 0)^T∈ω₁，则

  K₁(x)=K(x,x_①)=

  第二步：取x_②=(2 0)^T∈ω₁

  因K₁(x_②)=e^-(4+0)=e^-4>0，

  故K₂(x)=K₁(x)=

  第三步：取x_③=(1 1)^T∈ω₂

  因K₂(x_③)=e^-(1+1)=e^-2>0，

  故K₃(x)=K₂(x)-K(x,x_③)=

  第四步：取x_④=(1 -1)^T∈ω₂

  因K₃(x_④) =e^-(1+1)-e^-(0+4)=e^-2-e^-4>0，

  故K₄(x)=K₃(x)-K(x,x_④)

  =

  需对全部训练样本重复迭代一次

  第五步：取x_⑤=x_①=(0 0)^T∈ω₁，K₄(x_⑤)=e⁰-e^-2-e^-2=1-2e^-2>0

  故K₅(x)=K₄(x)

  第六步：取x_⑥=x_②=(2 0)^T∈ω₁，K₅(x_⑥)=e^-4-e^-2-e^-2=e^-4-2e^-2<0

  故K₆(x)=K₅(x)+K(x,x_⑥)

  =

  第七步：取x_⑦=x_③=(1 1)^T∈ω₂，K₆(x_⑦)=e^-2-e⁰-e^-4+e^-2=2e^-2-e^-4-1<0

  故K₇(x)=K₆(x)

  第八步：取x_⑧=x_④=(1 -1)^T∈ω₂，K₇(x_⑧)=e^-2-e^-4-e⁰+e^-2=2e^-2-e^-4-1<0

  故K₈(x)=K₇(x)

  第九步：取x_⑨=x_①=(0 0)^T∈ω₁，K₈(x_⑨)=e⁰-e^-2-e^-2+e^-4=1+e^-4-2e^-2>0

  故K₉(x)=K₈(x)

  第十步：取x_⑩=x_②=(2 0)^T∈ω₁，K₉(x_⑩)=e^-4-e^-2-e^-2+e⁰=1+e^-4-2e^-2>0

  故K₁₀(x)=K₉(x)

  经过上述迭代，全部模式都已正确分类，因此算法收敛于判别函数

  

  

  势函数分类算法评价：

  1.用第二类势函数，当训练样本维数和数目都较高时，需要计算和存储的指数项较多。

  2. 正因为势函数由许多新项组成，因此有很强的分类能力