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一、线性微分方程
1、一阶线性微分方程
定义
对于形如 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程，若Q(x)=0，则为一阶齐次线性微分方程；若Q(x) ≠ \ne = 0，则为一阶非齐次线性微分方程。
求解——常系数变易法
先求出齐次方程 d y d x + P ( x ) y = 0 \frac{dy}{dx}+P(x)y=0 dxdy+P(x)y=0的通解 y = C e − ∫ P ( x ) d x y=C e^{- \int P(x)dx} y=Ce−∫P(x)dx再另C = u (x) ,则有 y = u e − ∫ P ( x ) d x y=u e^{- \int P(x)dx} y=ue−∫P(x)dx,对两边求导，得到 d y d x = u ′ e − ∫ P ( x ) d x − u P ( x ) e − ∫ P ( x ) d x \frac{dy}{dx} = u^{‘} e^{- \int P(x)dx} – uP(x)e^{- \int P(x)dx} dxdy=u′e−∫P(x)dx−uP(x)e−∫P(x)dx再带入到原非齐次微分方程中可得 u ′ = Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x u^{‘} = Q(x)e^{ \int P(x)dx} u′=Q(x)e∫P(x)dx两端积分得 u = ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C u = \int Q(x) e^{ \int P(x)dx} dx +C u=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C故而该非齐次微分方程的通解为 y = ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C e − ∫ P ( x ) d x y = \lgroup \int Q(x) e^{ \int P(x)dx} dx +C \rgroup e^{- \int P(x)dx} y=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+Ce−∫P(x)dx
2、伯努利方程 ⋆ ⋆ ⋆ \star\star\star ⋆⋆⋆
定义
对于形如 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n ( n ≠ 0 , 1 ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n} (n\ne0,1) dxdy+P(x)y=Q(x)yn(n=0,1)的方程，我们称之为伯努利方程。当n=0或1时，这是线性微分方程。
求解
我们可做变换 z = y n − 1 z = y^{n-1} z=yn−1 ，使得原始变为 d z d x + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x ) \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) dxdz+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)这就转变成了一个一阶线性微分方程，利用常系数变易法求得通解，最后将 y 1 − n y^{1-n} y1−n代入到 z 中，可得伯努利方程的通解。
3、可降阶的线性微分方程
（1） y n = f ( x ) y^{n} = f(x) yn=f(x)型
求解步骤：对两端不断积分，直到左边为 y y y。
（2） y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y^{”} = f(x,y^{‘}) y′′=f(x,y′)型
求解步骤：设 y ′ = p y^{‘}=p y′=p,则 y ′ ′ = p ′ y^{”}=p^{‘} y′′=p′，原方程变为 p ′ = f ( x , p ) p^{‘}=f(x,p) p′=f(x,p)这是一个关于 p 和 x 的一阶微分方程，设其通解为 p = φ ( x , C 1 ) p=\varphi(x,C^{1}) p=φ(x,C1)则有 d y d x = p = φ ( x , C 1 ) \frac{dy}{dx}=p=\varphi(x,C^{1}) dxdy=p=φ(x,C1)容易求得原方程的通解为 y = ∫ φ ( x , C 1 ) d x + C 2 y=\int\varphi(x,C^{1})dx +C^{2} y=∫φ(x,C1)dx+C2
例如：求 ( 1 + x 2 ) y ′ ′ = 2 x y ′ (1+x^{2})y^{”}=2xy^{‘} (1+x2)y′′=2xy′的通解。
解：设 y ′ = p y^{‘}=p y′=p,则 y ′ ′ = p ′ y^{”}=p^{‘} y′′=p′，原方程变为 ( 1 + x 2 ) p ′ = 2 x p (1+x^{2})p^{‘}=2xp (1+x2)p′=2xp分离变量得 d p p = d ( 1 + x 2 ) 1 + x 2 \frac{dp}{p}=\frac{d(1+x^{2})}{1+x^{2}} pdp=1+x2d(1+x2)两端积分得 l n ∣ p ∣ = l n ( 1 + x 2 ) + C 1 ln|p|=ln(1+x^{2})+C^{1} ln∣p∣=ln(1+x2)+C1化简得 d y d x = p = C 1 ( 1 + x 2 ) \frac{dy}{dx}=p=C^{1}(1+x^{2}) dxdy=p=C1(1+x2)再分离变量，对两端积分得到通解为 y = C 1 x + C 2 x 3 + C 3 y=C^{1}x+C^{2}x^{3}+C^{3} y=C1x+C2x3+C3
（3） y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y^{”}=f(y,y^{‘}) y′′=f(y,y′)型
求解步骤：设 y ′ = p y^{‘}=p y′=p,则 y ′ ′ = d p d x = d p d y d y d x = p d p d y y^{”}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy} y′′=dxdp=dydpdxdy=pdydp，原方程变为 p d p d y = f ( y , p ) p\frac{dp}{dy}=f(y,p) pdydp=f(y,p)这是一个关于 p 和 x 的一阶微分方程，设其通解为 y ′ = p = φ ( y , C 1 ) y^{‘}=p=\varphi(y,C^{1}) y′=p=φ(y,C1)再分离变量，两端积分，可以求得通解为 ∫ 1 φ ( y , C 1 ) d x = x + C 2 \int\frac{1}{\varphi(y,C^{1})}dx=x+C^{2} ∫φ(y,C1)1dx=x+C2
例如：求 y y ′ ′ − ( y ′ ) 2 = 0 yy^{”}-(y^{‘})^{2}=0 yy′′−(y′)2=0的通解。
解：设 y ′ = p y^{‘}=p y′=p,则 y ′ ′ = d p d x = d p d y d y d x = p d p d y y^{”}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy} y′′=dxdp=dydpdxdy=pdydp，原方程变为 p y d p d y − p 2 = 0 py\frac{dp}{dy}-p^{2}=0 pydydp−p2=0在 p ≠ 0 , y ≠ 0 p\ne0,y\ne0 p=0,y=0的情况下分离变量得 d p p = d y y \frac{dp}{p}=\frac{dy}{y} pdp=ydy两端积分得 d y d x = p = C 1 y \frac{dy}{dx}=p=C^{1}y dxdy=p=C1y
易得方程的通解为 y = C 2 e C 1 x y=C^{2}e^{C^{1}x} y=C2eC1x
4、高阶微分方程（二阶）
对于二阶齐次线性方程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 y^{”}+P(x)y^{‘}+Q(x)y=0 y′′+P(x)y′+Q(x)y=0若 y 1 , y 2 y^{1},y^{2} y1,y2是该方程的两个线性无关的特解，则该方程的通解为 Y = C 1 y 1 + C 2 y 2 Y=C^{1}y^{1}+C^{2}y^{2} Y=C1y1+C2y2
对于二阶非齐次线性方程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) y^{”}+P(x)y^{‘}+Q(x)y=f(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)若 Y = C 1 y 1 + C 2 y 2 Y=C^{1}y_{1}+C^{2}y_{2} Y=C1y1+C2y2是其对应 的齐次线性方程的通解，那么该非齐次线性方程的通解为 y = C 1 y 1 + C 2 y 2 − y 1 ∫ y 2 f W d x + y 2 ∫ y 1 f W d x y=C^{1}y_{1}+C^{2}y_{2}-y_{1}\int\frac{y_{2}f}{W}dx+y_{2}\int\frac{y_{1}f}{W}dx y=C1y1+C2y2−y1∫Wy2fdx+y2∫Wy1fdx或 y = v 1 y 1 + v 2 y 2 y=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2} y=v1y1+v2y2其中 W = y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 W= y_{1}y^{‘}_{2}-y^{‘}_{1} y^{2} W=y1y2′−y1′y2 v 1 = C 1 + ∫ ( − y 2 f W ) d x , v 2 = ∫ y 1 f W d x v_{1}=C_{1}+\int(-\frac{y_{2}f}{W})dx,v_{2}=\int\frac{y_{1}f}{W}dx v1=C1+∫(−Wy2f)dx,v2=∫Wy1fdx
二、两大特例
1.可分离变量的微分方程
定义
一般地，如果一个一阶微分方程可以化成 P ( y ) d y = Q ( x ) d x P(y)dy = Q(x)dx P(y)dy=Q(x)dx那么我们称原方程为可分离变量的微分方程。
求解
对于这种方程，我们一般采取两端同时积分的方法。
例如:求微分方程 d y d x = 2 x y \frac{dy}{dx}=2xy dxdy=2xy的通解。
解：分离变量可得 d y y = 2 x d x \frac{dy}{y}=2xdx ydy=2xdx两端同时积分可得 l n ∣ y ∣ = x 2 + C 1 ln|y|=x^{2}+C_{1} ln∣y∣=x2+C1化简得到通解 y = C e x 2 y=Ce^{x^{2}} y=Cex2
2.齐次微分方程
定义
如果一阶微分方程可以化成 d y d x = φ ( y x ) \frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x}) dxdy=φ(xy)的形式，那么我们称之为齐次方程。
求解
设 u = y x u=\frac{y}{x} u=xy，则 y = u x y=ux y=ux,有 d y d x = u + x d u d x = φ ( u ) \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u) dxdy=u+xdxdu=φ(u)易得其通解为 φ ( u ) − u = C 1 x \varphi(u)-u=C_{1}x φ(u)−u=C1x代入 u = y x u=\frac{y}{x} u=xy得 φ ( y x ) − y x = C 1 x \varphi(\frac{y}{x})-\frac{y}{x}=C_{1}x φ(xy)−xy=C1x
三、常系数线性微分方程
1、常系数齐次线性微分方程
求二阶常系数齐次线性微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y^{”}+py^{‘}+qy=0 y′′+py′+qy=0的通解的一般步骤如下：
1）、写出特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^{2}+pr+q=0 r2+pr+q=0
2）、求出特征根 r 1 , r 2 r_{1},r_{2} r1,r2
3）、根据特征根写出通解
| 特征根 r 1 , r 2 r_{1},r_{2} r1,r2 | 通解 |
|---|---|
| 两个不等实根 r 1 , r 2 r_{1},r_{2} r1,r2 | y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x} y=C1er1x+C2er2x |
| 重根 r 1 = r 2 r_{1}=r_{2} r1=r2 | y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x y=(C_{1}+C_{2}x)e^{r_{1}x} y=(C1+C2x)er1x |
| 一对共轭复根 r 1 ， 2 = α ± β i r_{1，2}=\alpha\pm\beta i r1，2=α±βi | y = e α x ( C 1 c o s β x + C 2 s i n β x ) y=e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x) y=eαx(C1cosβx+C2sinβx) |
\
