微分方程

需要学会求解的类型

1. 直接套公式法的一阶非齐次线性微分方程

2. 特解十分难算的高阶常系数线性微分方程

3. 可化简的其它类型

概念

1. 齐次方程与非齐次方程

   (1). 齐次方程 : a 1 ∗ y ( n ) + a 2 ∗ y ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 ∗ y ′ + a n ∗ y = 0 , :a_1*y^{(n)}+a_2*y^{(n-1)}+…+a_{n-1}*y’+a_n*y= 0, :a1​∗y(n)+a2​∗y(n−1)+...+an−1​∗y′+an​∗y=0, 相当于线性代数里面的 A X = 0. AX=0. AX=0.其中 A n = ( a 1 a 2 ⋯ a n ) , X = ( y ( n ) y ( n − 1 ) ⋮ y ) , A_{n} =\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix}, X =\begin{pmatrix}y^{(n)}\\y^{(n-1)}\\\vdots\\y\end{pmatrix}, An​=(a1​​a2​​⋯​an​​),X=⎝⎜⎜⎜⎛​y(n)y(n−1)⋮y​⎠⎟⎟⎟⎞​, 由于通过 y y y可以求出对应的 y ′ , y ′ ′ , . . . , y ( n ) , y’,y”,…,y^{(n)}, y′,y′′,...,y(n), 故微分方程求解即解出 y y y的表达式

   (2). 非齐次方程 : a 1 ∗ y ( n ) + a 2 ∗ y ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 ∗ y ′ + a n ∗ y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + . . . + f m ( x )   :a_1*y^{(n)}+a_2*y^{(n-1)}+…+a_{n-1}*y’+a_n*y= f_1(x)+f_2(x)+…+f_m(x)\\\space :a1​∗y(n)+a2​∗y(n−1)+...+an−1​∗y′+an​∗y=f1​(x)+f2​(x)+...+fm​(x) 
   相当于线性代数里面的 A X = β , AX=\beta, AX=β, 其中 β = g ( x ) = f 1 ( x ) + . . . + f m ( x ) \beta = g(x) =f_1(x)+…+f_m(x) β=g(x)=f1​(x)+...+fm​(x)

2. 通解和特解和全部解

   • 特解: 符合方程等式成立的任意一个解
   • 通解: 符合方程等式成立的一群解
   • 全部解: 不能遗漏任何一个是方程等式成立的解。

   在方程的等式变形过程中可能会将 y y y放到分母位置上, 从而导致丢掉部分解,直接得到的是通解。 通解加上 奇解 就是全部解

   (1). 齐次和非齐次是和其它概念可以并存的, 例如 y ′ + p ( x ) ∗ y = q ( x ) y’ + p(x)*y=q(x) y′+p(x)∗y=q(x)为一阶线性非齐次微分方程, 朴实无华的公式法 , 而 y ′ + p ( x ) ∗ y = 0 y’ + p(x)*y=0 y′+p(x)∗y=0为一阶线性齐次方程, 也就是可分离变量类型的微分方程

   (2). 对于齐次方程 A 1 X = 0 A_1X=0 A1​X=0而言, 如果 X 1 ∗ X_1^* X1∗​是方程的一个特解, 且 X 1 ∗ ≠ 0 X_1^* \neq 0 X1∗​​=0,即满足 A 1 X 1 ∗ = 0 A_1X_1^*=0 A1​X1∗​=0. 则乘上任意系数 k k k后得到的 k X 1 ∗ kX_1^* kX1∗​仍然为 A 1 X = 0 A_1X=0 A1​X=0的解, 也就是 A 1 ( k X 1 ∗ ) = 0 A_1(kX_1^*)=0 A1​(kX1∗​)=0, 即齐次方程的通解 = k k k * 齐次方程的不为0的特解

   (3)为了和上面的齐次方程做一个区分, 非齐次方程的变元使用 Y Y Y.
   对于非齐次方程 A 2 Y = β A_2Y = \beta A2​Y=β的特解 Y 2 ∗ Y_2^* Y2∗​, 即满足 A 2 Y 2 ∗ = β A_2Y_2^* = \beta A2​Y2∗​=β, 同时与之对应的齐次方程 A 2 Y = 0 A_2Y=0 A2​Y=0的通解 Y 1 ( = k 1 X 1 ∗ + k 2 X 2 ∗ + . . . + k n X n ∗ ) Y_1(=k_1X_1^*+k_2X_2^*+…+k_nX_n^*) Y1​(=k1​X1∗​+k2​X2∗​+...+kn​Xn∗​), 因为 A 2 ( Y 1 + Y 2 ∗ ) = A 2 Y 1 + A 2 Y 2 ∗ = 0 + β = β A_2(Y_1 + Y_2^*)=A_2Y_1+A_2Y_2^*=0+\beta=\beta A2​(Y1​+Y2∗​)=A2​Y1​+A2​Y2∗​=0+β=β, 所以 Y 1 + Y 2 ∗ Y_1+Y_2^* Y1​+Y2∗​为非齐次的通解(一片解), 即非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

3. 线性和非线性

   (1). 线性方程: 例如从小学开始学习的 3 x + 1 = 4 3x+1=4 3x+1=4和线性方程组 { 3 x + 5 y = 1 7 x − 2 y = 2 \begin{cases}3x + 5y &= 1 \\7x – 2y &= 2\end{cases} { 3x+5y7x−2y​=1=2​
   (2). 非线性方程: 高中解的最多的 x 2 + 2 x + 1 = 0 x^2+ 2x + 1 = 0 x2+2x+1=0或解析几何中的熟悉的联立 { x 2 4 + y 2 3 = 1 x − 2 y = 2 \begin{cases}\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} &= 1 \\x – 2y &= 2\end{cases} { 4x2​+3y2​x−2y​=1=2​

   线性方程是指待求解的变量的最高幂次 ≤ \leq ≤ 1的方程, 而非线性方程中待求解变量的最高幂次 > > > 1
   所谓待求解的变量和自己的选择有关,例如 y ′ + x 2 ∗ y = x y’ + x^2*y = x y′+x2∗y=x这里选择求解 y , y, y, 那 x 2 x^2 x2作为系数,对于 y y y而言的所有变量的幂次都没有超过1,所以是线性方程, 一般情况下非线性方程不可解, 考察的都是线性方程

计算求解

1. 一阶微分方程: 公式法或左右两边同乘 e p ( x ) e^{p(x)} ep(x)
2. 化简方法: 换元法和x,y位置互换
3. 高阶常系数线性微分方程: 解多项式(求齐次通解) + 算子法(求非齐次特解)

换元法

( 1 ) u = y x → y = u x → d y = u ∗ d x + x ∗ d u (1)u = \frac{y}{x}\rightarrow y=ux \rightarrow dy = u*dx + x*du (1)u=xy​→y=ux→dy=u∗dx+x∗du

( 2 ) u = a x + b y + c → d u = a ∗ d x + b ∗ d y (2)u=ax+by+c\rightarrow du = a*dx + b*dy (2)u=ax+by+c→du=a∗dx+b∗dy

( 3 ) u = y ′ → y ′ ′ = d y ′ d x = d u d x = { u ′ , 缺 y 可 化 简 型 ; d u d y ∗ d y d x = d u d y ∗ u , 缺 x 可 化 简 型 ; (3)u=y’ \rightarrow y” = \frac{dy’}{dx} = \frac{du}{dx}=\begin{cases} u’ & ,缺y可化简型; \\ \frac{du}{dy}*\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dy}*u &,缺x可化简型; \end{cases} (3)u=y′→y′′=dxdy′​=dxdu​={ u′dydu​∗dxdy​=dydu​∗u​,缺y可化简型;,缺x可化简型;​

( 4 ) u = y 1 − n 或 1 y n − 1 → d u = 1 1 − n ∗ y − n           伯 努 利 方 程 (4)u=y^{1-n}或\frac{1}{y^{n-1}}\rightarrow du=\frac{1}{1-n}*y^{-n} \space\space\space\space\space\space\space\space\space伯努利方程 (4)u=y1−n或yn−11​→du=1−n1​∗y−n         伯努利方程

( 5 ) u = = { I n x , x > 0 I n ( − x ) , x < 0         欧 拉 方 程 (5)u==\begin{cases}Inx &, x>0\\ In(-x)&, x<0\end{cases}\space\space\space\space\space\space\space欧拉方程 (5)u=={ InxIn(−x)​,x>0,x<0​       欧拉方程

x , y x,y x,y位置互换个人认为不算一种具体的方法，而是一种思想。要注意可能会和换元法结合使用

算子法

求高阶非齐次线性微分方程的特解, 即 y ∗ y^* y∗
首先约定两个符号 D D D(求导)和 1 D \frac{1}{D} D1​(积分). 此外 ( D + 1 ) y (D+1)y (D+1)y表示 D y + y Dy+y Dy+y,即 y ′ + y y’+y y′+y, 而 1 D + 1 y \frac{1}{D+1}y D+11​y没有特别含义

计算特解有5种类型:

1. 指数函数 f ( x ) = e k x f(x) = e^{kx} f(x)=ekx
2. 三角函数 f ( x ) = s i n ( a x ) f(x) = sin(ax) f(x)=sin(ax)
3. 多项式 P n ( x ) = x n + x n − 1 + . . . + x P_n(x) = x^n + x^{n-1} + … + x Pn​(x)=xn+xn−1+...+x
4. 指数函数 * 三角函数 f ( x ) = e k x ∗ s i n ( a x ) f(x) = e^{kx}*sin{(ax)} f(x)=ekx∗sin(ax) 和指数函数 * 多项式 f ( x ) = e k x ∗ P n ( x ) f(x)=e^{kx}*P_n(x) f(x)=ekx∗Pn​(x)
5. 三角函数 * 多项式 f ( x ) = s i n ( a x ) ∗ P n ( x ) f(x) = sin(ax)*P_n(x) f(x)=sin(ax)∗Pn​(x)

类 型 1 : f ( x ) = e k x 类型1: f(x) = e^{kx} 类型1:f(x)=ekx

解决策略

1. 将高阶导 y ( n ) y^{(n)} y(n)写成 D n D^{n} Dn, 解出 y ∗ = 1 F ( D ) f ( x ) y^* =\frac{1}{F(D)}f(x) y∗=F(D)1​f(x)
2. 令 D = k D = k D=k,
3. 如果不能令 D = k D=k D=k, 向前提取 x x x后, 对 D D D求导后再令

例题1

y ′ ′ − 4 y ′ + 3 y = 2 e ( 2 x ) y”- 4y’ + 3y = 2e^{(2x)} y′′−4y′+3y=2e(2x)

解析:

D 2 y − 4 D y + 3 y = 2 e ( 2 x ) D^2y-4Dy+3y=2e^{(2x)} D2y−4Dy+3y=2e(2x)

y ∗ = 1 ( D 2 − 4 D + 3 ) 2 e ( 2 x )      ( y ∗ 只 是 表 示 特 解 ) y^*= \frac{1}{(D^2-4D+3)} 2e^{(2x)}\space\space\space\space (y^*只是表示特解) y∗=(D2−4D+3)1​2e(2x)    (y∗只是表示特解)

常 数 可 以 直 接 提 前 , 即 y ∗ = 2 1 ( D 2 − 4 D + 3 ) e ( 2 x ) 常数可以直接提前, 即y^*= 2\frac{1}{(D^2-4D+3)} e^{(2x)} 常数可以直接提前,即y∗=2(D2−4D+3)1​e(2x)

令 D = k = 2 , y ∗ = 2 ∗ 1 2 2 − 4 ∗ 2 + 3 e ( 2 x ) = − 2 e ( 2 x ) D=k=2, y^* = 2*\frac{1}{2^2-4*2+3}e^{(2x)} = -2e^{(2x)} D=k=2,y∗=2∗22−4∗2+31​e(2x)=−2e(2x)

例题2

y ′ ′ + 2 y ′ − 3 y = e ( − 3 x ) y” + 2y’ -3y = e^{(-3x)} y′′+2y′−3y=e(−3x)

解析:

D 2 y + 2 D y − 3 y = e ( − 3 x ) D^2y+2Dy-3y=e^{(-3x)} D2y+2Dy−3y=e(−3x)

y ∗ = 1 ( D 2 + 2 D − 3 ) e ( − 3 x ) y^*= \frac{1}{(D^2+2D-3)} e^{(-3x)} y∗=(D2+2D−3)1​e(−3x)

令 D = k = − 3 , 此 时 y ∗ = 1 9 − 6 − 3 e ( − 3 x ) , 此 时 分 母 为 0 , 即 不 可 令 D = k D=k=-3, 此时y^* = \frac{1}{9-6-3}e^{(-3x)},此时分母为0, 即不可令D=k D=k=−3,此时y∗=9−6−31​e(−3x),此时分母为0,即不可令D=k

所 以 此 时 y ∗ = 1 ( D 2 + 2 D − 3 ) e ( − 3 x ) = 对 F ( D ) 求 导 x 1 2 D + 2 e ( − 3 x ) = x 1 − 4 e ( − 3 x ) = − 1 4 x e ( − 3 x ) 所以此时y^*= \frac{1}{(D^2+2D-3)} e^{(-3x)}\xlongequal{对F(D)求导} x\frac{1}{2D+2}e^{(-3x)} = x\frac{1}{-4} e^{(-3x)} = -\frac{1}{4}xe^{(-3x)} 所以此时y∗=(D2+2D−3)1​e(−3x)对F(D)求导 x2D+21​e(−3x)=x−41​e(−3x)=−41​xe(−3x)

类 型 2 : f ( x ) = s i n ( a x ) 或 c o s ( a x ) 类型2: f(x) = sin(ax)或cos(ax) 类型2:f(x)=sin(ax)或cos(ax)

解决策略

1. 能令 D 2 = − a 2 D^2 = -a^2 D2=−a2则先令
2. 没有 D 2 D^2 D2,则分子分母同乘多项式凑出 D 2 D^2 D2后再令
3. 有 D 2 D^2 D2但是不能令, 也就是令完之后分母为0, 一样提取 x x x后求导再尝试

例题3

y ′ ′ − y = s i n x y” – y = sinx y′′−y=sinx

解析:

y ∗ = 1 D 2 − 1 s i n x = 1 ( − 1 ) − 1 s i n x = − 1 2 s i n x y^*= \frac{1}{D^2-1} sinx=\frac{1}{(-1)-1}sinx=-\frac{1}{2}sinx y∗=D2−11​sinx=(−1)−11​sinx=−21​sinx

例题4

y ′ ′ + 4 y = c o s ( 2 x ) y” + 4y = cos(2x) y′′+4y=cos(2x)

解析:

因 为 y ∗ = 1 D 2 + 4 c o s ( 2 x ) = 1 ( − 4 ) + 4 c o s ( 2 x ) 因为y^*= \frac{1}{D^2+4} cos(2x)=\frac{1}{(-4)+4}cos(2x) 因为y∗=D2+41​cos(2x)=(−4)+41​cos(2x)

所 以 y ∗ = x 1 2 D c o s ( 2 x ) = 常 数 可 提 取 x 2 1 D c o s ( 2 x ) = 1 D f ( x ) 表 示 对 f ( x ) 进 行 积 分 x ∗ s i n ( 2 x ) 4 所以y^* = x\frac{1}{2D}cos(2x) \xlongequal{常数可提取} \frac{x}{2}\frac{1}{D}cos(2x)\xlongequal{\frac{1}{D}f(x)表示对f(x)进行积分}\frac{x*sin(2x)}{4} 所以y∗=x2D1​cos(2x)常数可提取 2x​D1​cos(2x)D1​f(x)表示对f(x)进行积分 4x∗sin(2x)​

例题5

y ′ ′ − 6 y ′ + 9 y = c o s x y” – 6y’ + 9y = cosx y′′−6y′+9y=cosx

解析:

y ∗ = 1 D 2 − 6 D + 9 c o s x = 能 令 则 令 1 8 − 6 D c o s x = 没 有 要 凑 , 同 乘 多 项 式 通 分 8 + 6 D 64 − 36 D 2 c o s x = 能 令 则 令 1 100 ( 8 + 6 D ) c o s x y^* = \frac{1}{D^2 – 6D + 9}cosx\xlongequal{能令则令} \frac{1}{8-6D}cosx\xlongequal{没有要凑, 同乘多项式通分}\frac{8 + 6D}{64 – 36D^2}cosx\xlongequal{能令则令}\frac{1}{100}(8+6D)cosx y∗=D2−6D+91​cosx能令则令 8−6D1​cosx没有要凑,同乘多项式通分 64−36D28+6D​cosx能令则令 1001​(8+6D)cosx

= 多 项 式 乘 法 , D f ( x ) 表 示 求 导 1 100 ( 8 ∗ c o s x − 6 s i n x ) \xlongequal{多项式乘法,Df(x)表示求导}\frac{1}{100}(8*cosx -6sinx) 多项式乘法,Df(x)表示求导 1001​(8∗cosx−6sinx)

类 型 3 : f ( x ) = P n ( x ) 多 项 式 类型3: f(x) = P_n(x)多项式 类型3:f(x)=Pn​(x)多项式

解决策略:

1. 使用无穷级数 1 1 − q = 1 + q + q 2 + . . . + q n \frac{1}{1-q} = 1+q+q^2+…+q^n 1−q1​=1+q+q2+...+qn, 展开到需要的阶数即可

例题6

y ′ ′ + y = − 2 x y” + y = -2x y′′+y=−2x

解析:

y ∗ = 1 D 2 + 1 ( − 2 x ) = 令 q = − D 2 ( 1 − D 2 + . . . ) ( − 2 x ) = − 2 x 这 里 的 多 项 式 为 1 阶 , 实 际 上 只 需 要 展 开 到 D 即 可 , 因 为 D 2 x = 0 y^* = \frac{1}{D^2 + 1}(-2x)\xlongequal{令q=-D^2}(1-D^2+…)(-2x)=-2x 这里的多项式为1阶, 实际上只需要展开到D即可,因为D^2x=0 y∗=D2+11​(−2x)令q=−D2 (1−D2+...)(−2x)=−2x这里的多项式为1阶,实际上只需要展开到D即可,因为D2x=0

例题7

y ′ ′ + y ′ = x 2 y” + y’ = x^2 y′′+y′=x2

解析:

y ∗ = 1 D 2 + D x 2 y^* = \frac{1}{D^2+D}x^2 y∗=D2+D1​x2

此 时 分 母 中 并 没 有 1 , 所 以 缺 啥 补 啥 , 用 求 极 限 常 见 的 思 路 f ( x ) = f ( x ) + 1 − 1 此时分母中并没有1,所以缺啥补啥,用求极限常见的思路f(x) = f(x)+1-1 此时分母中并没有1,所以缺啥补啥,用求极限常见的思路f(x)=f(x)+1−1

得 到 y ∗ = 1 1 − ( 1 − D 2 − D ) x 2 = [ 1 + ( 1 − D 2 − D ) + ( 1 − D 2 − D ) 2 + . . . + ( 1 − D 2 − D ) n ] x 2 得到y^* = \frac{1}{1-(1-D^2-D)}x^2 =[1+(1-D^2-D)+(1-D^2-D)^2+…+(1-D^2-D)^n]x^2 得到y∗=1−(1−D2−D)1​x2=[1+(1−D2−D)+(1−D2−D)2+...+(1−D2−D)n]x2

可 以 看 到 即 使 对 于 ( 1 − D 2 − D ) n 项 , 展 开 之 后 仍 然 可 以 找 到 1 + k 1 D + k 2 D 2 , 因 此 不 能 这 么 展 开 , 否 则 无 法 终 止 可以看到即使对于(1-D^2-D)^n项, 展开之后仍然可以找到1+k_1D+k_2D^2,因此不能这么展开,否则无法终止 可以看到即使对于(1−D2−D)n项,展开之后仍然可以找到1+k1​D+k2​D2,因此不能这么展开,否则无法终止

另 外 一 种 凑 1 的 方 法 就 是 因 式 分 解 1 D 2 + D x 2 = 1 D ( D + 1 ) x 2 = 1 D ∗ 1 D + 1 x 2 另外一种凑1的方法就是因式分解\frac{1}{D^2+D}x^2 = \frac{1}{D(D+1)}x^2 = \frac{1}{D}*\frac{1}{D+1}x^2 另外一种凑1的方法就是因式分解D2+D1​x2=D(D+1)1​x2=D1​∗D+11​x2

之 后 再 处 理 1 D + 1 x 2 = ( 1 − D + D 2 ) x 2 = x 2 − 2 x + 2 , 最 后 处 理 1 D ( x 2 − 2 x + 2 ) = 1 3 x 3 − x 2 + 2 x 之后再处理\frac{1}{D+1}x^2=(1-D+D^2)x^2=x^2-2x+2, 最后处理\frac{1}{D}(x^2-2x+2)=\frac{1}{3}x^3-x^2+2x 之后再处理D+11​x2=(1−D+D2)x2=x2−2x+2,最后处理D1​(x2−2x+2)=31​x3−x2+2x

类 型 4. f ( x ) = e k x ∗ g ( x ) 类型4. f(x) = e^{kx}*g(x) 类型4.f(x)=ekx∗g(x)

解决策略:

移位公式 : 1 F ( D ) e k x g ( x ) = e k x 1 F ( D + k ) g ( x ) :\frac{1}{F(D)}e^{kx}g(x) = e^{kx}\frac{1}{F(D+k)}g(x) :F(D)1​ekxg(x)=ekxF(D+k)1​g(x)

之后按照 g ( x ) g(x) g(x)的类型进行求解即可, 属于类型2,3里面重复的内容

类 型 5. f ( x ) = P n ( x ) ∗ s i n ( a x ) 或 P n ( x ) ∗ c o s ( a x ) 类型5. f(x) = P_n(x)*sin(ax)或P_n(x)*cos(ax) 类型5.f(x)=Pn​(x)∗sin(ax)或Pn​(x)∗cos(ax)

解决策略:

欧拉公式 : e i x = c o s x + i ∗ s i n x :e^{ix} = cosx + i*sinx :eix=cosx+i∗sinx

1 F ( D ) [ P n ( x ) s i n ( a x ) ] = I m { 1 F ( D ) [ e ( i ∗ a x ) ∗ P n ( x ) ] } \frac{1}{F(D)}[P_n(x)sin(ax)] =Im \{\frac{1}{F(D)}[e^{(i*ax)}*P_n(x)]\} F(D)1​[Pn​(x)sin(ax)]=Im{ F(D)1​[e(i∗ax)∗Pn​(x)]}

1 F ( D ) [ e ( i ∗ a x ) ∗ P n ( x ) = 移 位 公 式 e ( i ∗ a x ) 1 F ( D + i ∗ a x ) P n ( x ) , 同 上 \frac{1}{F(D)}[e^{(i*ax)}*P_n(x) \xlongequal{移位公式}e^{(i*ax)}\frac{1}{F(D+i*ax)}P_n(x),同上 F(D)1​[e(i∗ax)∗Pn​(x)移位公式 e(i∗ax)F(D+i∗ax)1​Pn​(x),同上

I m { } Im\{\} Im{ }表示对计算结果取虚部