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作者：Xinyu Chen
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来源：知乎

矩阵的奇异值分解（singular value decomposition，简称SVD）是线性代数中很重要的内容，并且奇异值分解过程也是线性代数中相似对角化分解（也被称为特征值分解，eigenvalue decomposition，简称EVD）的延伸。因此，以下将从线性代数中最基础的矩阵分解开始讲起，引出奇异值分解的定义，并最终给出奇异值分解的低秩逼近问题相关的证明过程。

1 线性代数中的矩阵分解

我们在学习线性代数时，就已经接触了线性代数中的两个重要定理，即对角化定理和相似对角化定理，在这里，我们先简单地回顾一下这两个定理。另外，在接下来的篇幅里，我们所提到的矩阵都是指由实数构成的矩阵，即实矩阵。

给定一个大小为的矩阵（是方阵），其对角化分解可以写成

其中，的每一列都是特征向量，对角线上的元素是从大到小排列的特征值，若将记作，则

更为特殊的是，当矩阵是一个对称矩阵时，则存在一个对称对角化分解，即

其中，的每一列都是相互正交的特征向量，且是单位向量，对角线上的元素是从大到小排列的特征值。

当然，将矩阵记作，则矩阵也可以写成如下形式：

举一个简单的例子，如给定一个大小为的矩阵，根据求得特征值为，，相应地，，，则

.
这样，我们就很容易地得到了矩阵的对称对角化分解。

2 奇异值分解的定义

在上面，对于对称的方阵而言，我们能够进行对称对角化分解，试想：对称对角化分解与奇异值分解有什么本质关系呢？

当给定一个大小为的矩阵，虽然矩阵不一定是方阵，但大小为的和的却是对称矩阵，若，，则矩阵的奇异值分解为

其中，矩阵的大小为，列向量是的特征向量，也被称为矩阵的左奇异向量（left singular vector）；矩阵的大小为，列向量是的特征向量，也被称为矩阵的右奇异向量（right singular vector）；矩阵大小为，矩阵大小为，两个矩阵对角线上的非零元素相同（即矩阵和矩阵的非零特征值相同，推导过程见附录1）；矩阵的大小为，位于对角线上的元素被称为奇异值（singular value）。

接下来，我们来看看矩阵与矩阵和矩阵的关系。令常数是矩阵的秩，则，当时，很明显，矩阵和矩阵的大小不同，但矩阵和矩阵对角线上的非零元素却是相同的，若将矩阵（或矩阵）对角线上的非零元素分别为，其中，这些特征值也都是非负的，再令矩阵对角线上的非零元素分别为，则

即非零奇异值的平方对应着矩阵（或矩阵）的非零特征值，到这里，我们就不难看出奇异值分解与对称对角化分解的关系了，即我们可以由对称对角化分解得到我们想要的奇异值分解。

为了便于理解，在这里，给定一个大小为的矩阵，虽然这个矩阵是方阵，但却不是对称矩阵，我们来看看它的奇异值分解是怎样的。

由进行对称对角化分解，得到特征值为，，相应地，特征向量为，；由进行对称对角化分解，得到特征值为，，相应地，特征向量为，。取，则矩阵的奇异值分解为

.

若矩阵不再是一个方阵，而是一个大小为的，由得到特征值为，，特征向量为，，；由得到特征值为，，特征向量为，，令（注意：矩阵大小为），此时，矩阵的奇异值分解为

.

比较有趣的是，假设给定一个对称矩阵，它是对称矩阵，则其奇异值分解是怎么样的呢？

分别计算和，我们会发现，，左奇异向量和右奇异向量构成的矩阵也是相等的，即，更为神奇的是，该矩阵的奇异值分解和对称对角化分解相同，都是。这是由于对于正定对称矩阵而言，奇异值分解和对称对角化分解结果相同。

3 奇异值分解的低秩逼近

在对称对角化分解中，若给定一个大小为的矩阵，很显然，矩阵的秩为，特征值为，，，对应的特征向量分别为，，，考虑任意一个向量，则

在这里，我们会发现，即使是一个任意向量，用矩阵去乘以的效果取决于较大的特征值及其特征向量，类似地，在奇异值分解中，较大的奇异值会决定原矩阵的“主要特征”，下面我们来看看奇异值分解的低秩逼近（有时也被称为截断奇异值分解）。需要说明的是，接下来的部分是从文献《A Singularly Valuable Decomposition: The SVD of a Matrix》整理而来的。

给定一个大小为的矩阵，由于可以写成

其中，向量之间相互正交，向量之间也相互正交，由内积（有兴趣的读者可以自行推算）得到矩阵的F-范数的平方为

知道了矩阵的F-范数的平方等于其所有奇异值的平方和之后，假设是矩阵的一个秩一逼近（rank one approximation），那么，它所带来的误差则是（是矩阵的秩），不过如何证明是最好的秩一逼近呢？

由于（证明过程见附录2），令，其中，是一个正常数，向量和分别是大小为和的单位向量，则

单独看大小为的矩阵和的内积，我们会发现，

其中，需要注意的是，分别是向量和的第个元素；向量的大小为，向量的大小也为，另外，以为例，是向量的模，则（残差矩阵的平方和）为

当且仅当时，取得最小值，此时，矩阵的秩一逼近恰好是.

当然，我们也可以证明是矩阵的最佳秩一逼近，以此类推，是矩阵的最佳秩一逼近。由于矩阵的秩为，这样，我们可以得到矩阵的最佳秩逼近（rank- approximation），即

.

这里得到的矩阵的大小为，矩阵的大小为，矩阵的大小为，矩阵可以用来做近似。

用低秩逼近去近似矩阵有什么价值呢？给定一个很大的矩阵，大小为，我们需要存储的元素数量是个，当矩阵的秩远小于和，我们只需要存储个元素就能得到原矩阵，即个奇异值、个左奇异向量的元素和个右奇异向量的元素；若采用一个秩矩阵去逼近，我们则只需要存储更少的个元素。因此，奇异值分解是一种重要的数据压缩方法。

另外，关于奇异值分解的应用将在该系列后续文章中进行详述。

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附录1：相关链接：Largest eigenvalues of AA' equals to A'A，截图如下：

附录2：求证：，其中，，.

证明：