本文引用与百度百科。
简介
导数(英语:Derivative)是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数 f 的自变量在一点 x0 上产生一个增量 h 时,函数输出值的增量与自变量增量 h 的比值在 h 趋于0时的极限如果存在,即为 f 在 x0 处的导数。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
定义
一般定义
几何意义
性质
单调性
一阶导数表示的是函数的变化率,最直观的表现就在于函数的单调性
定理:设 f(x) 在 [a,b] 上连续,在(a,b)内具有一阶导数,那么:
(1)若在(a,b)内 f'(x)>0,则 f(x)在[a,b]上的图形单调递增;
(2)若在(a,b)内 f’(x)<0,则 f(x)在[a,b]上的图形单调递减;
(3)若在(a,b)内 f'(x)=0,则 f(x)在[a,b]上的图形是平行(或重合)于x轴的直线,即在[a,b]上为常数。
在右图可以直观的看出:函数的导数就是一点上的切线的斜率。当函数单调递增时,斜率为正,函数单调递减时,斜率为负。
导数与微分
微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是,对一元函数来说,可微与可导是完全等价的。可微的函数,其微分等于导数乘以自变量的微分dx,换句话说,函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。
可导的条件
如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在实数域上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件。首先,要使函数 f 在一点可导,那么函数一定要在这一点处连续。换言之,函数若在某点可导,则必然在该点处连续。
可导的函数一定连续,不连续的函数一定不可导。
例子
关于导数的概念,这里也有很好的介绍,来自维基百科。导数