一、范数

1.范数与内积

• 内积：对两个空间进行内积运算可以得到一个实数集
• 范数：对一个空间可以直接进行向量“大小”的衡量，得到实数集
  

2.向量范数

正定性：范数为0，则每个向量必为0

3.例题（向量范数判断）

4.p级范数

注意，范数|Y|若是一个平面直角坐标系，横轴为实数，纵轴为虚数。值为平面坐标系中线段长度。

x的1-范数为：1+|2+i|+|i|+1= 根号（5） + 3
x的2-范数为：根号（1+5+1+1）= 根号（8）
x的无穷范数为：max{1,根号（5），1,1}=根号（5）

作用在于：对于赋范线性空间的量化


另外，我们可以通过范数求得向量序列的极限

5.范数等价

例如：1-范数为菱形，2-范数构成了一个圆：

由于矩阵可以表示为mn维向量，于是将Aij元素看作一个向量。

6.方阵范数

方阵范数比向量范数多了一个相容性，因为方阵可以进行矩阵乘法

常用的矩阵范数

7.方阵范数与向量范数的相容性

• 定义
  
• 相容性的直观解释
  
• 相容性的作用
  
• 重要结论
  
  例如：
  

8.特征值与范数的关系

注：利用该定理，可以对特征值的模进行估计

求矩阵的范数，第一范数是对列元素求模相加后取最大值；无穷范数是对行元素求模相加后取最大值。

二、向量序列和矩阵序列的极限

1.概念

2.性质

3、例题（求矩阵极限）

感觉和普通极限求解差不多，就是每个元素对应位置都要求一个极限。

4.例题（幂矩阵极限为0）

三、矩阵幂级数

1、矩阵级数

2、例题（求矩阵极限）

每个矩阵元素位置都求极限

注意等比数列计算公式：

3、收敛性质

四、矩阵函数收敛性

1.概念

复级数是由一个实数加虚数组成的，其中实部和虚部部分都是实函数。

2.收敛半径计算

3.谱半径计算

4.复幂级数计算

5.例题（矩阵幂级数收敛性判断）

6.例题（矩阵幂级数收敛性判断）

7.例题（矩阵幂级数收敛性判断）

五、矩阵函数

1.概念

2.待定系数法求函数值

3.例题（待定系数法求矩阵函数）

4.例题（待定系数法求矩阵函数）

？？最小多项式不明白为什么变成了2

五、函数矩阵的微分与积分

就是把每个位置上的元素分别进行了微分和积分

六、矩阵函数在微分方程组的应用

这个A是咋得出来的。。。
解答：A中每一行对应一个微分式子，第一个元素为0表示是对x1微分，所以为0；第二个元素为1是积分式中x2前的系数为1。

1.一阶线性常微分齐次微分方程组的计算

2.例题（一阶线性常微分齐次微分方程组的计算）

• 首先，将原始方程组转换为一般形式，求出A^n
• 然后计算出e^{At，并按照A}n进行化解
• 最后将上式中的级数分解并合并，根据X(t)=e^AtX0求出X(t)