首先，我们要知道这样一条定理：
向量组A（α1，α2，…，αm）若能由向量组B（β1，β2，…，βn）线性表出，那么r(A)≤r(B)
(这里m、n是任意的，表示任意两个向量组)
于是：
若向量组A能由向量组B线性表示，那么r(A)≤r(B);
若向量组B能由向量组A线性表示，那么r(B)≤r(A);
因此，
若向量组A与向量组B能够互相表示 等价于 r(A)＝r(B)。
也即，等价向量组的秩相等。

附:关于已知的定理的证明，这里简单说明一下，我们知道：
（1）如果向量组A可以由向量组B线性表示，而向量组A又线性无关，那么A中向量的个数≤B中向量的个数。
（2）向量组的线性表出，等价于他们极大无关组的线性表出（向量组和和极大无关组是等价的，等价向量组具有传递性）。
因此：
也就是说，向量组A可以由向量组B线性表出，那么A的极大无关组就可以由B的极大无关组线性表出，则由（1）知，向量组A的极大无关组中向量的个数≤向量组B的极大无关组中向量的个数，即r(A)≤r(B)。