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一. 命题 概念
1. 命题 概念
( 1 ) 命题逻辑的主要内容 ( 逻辑 推理 命题 | 最小单位 | 最简单最基本部分 )
命题逻辑的主要内容 :
- 1.逻辑, 推理 与 命题 关系 : 逻辑 主要研究 推理过程 , 推理过程 必须 依靠 命题 来表达 ;
- 2.最小单位 : 命题逻辑中 , 命题 是 最小单位 ;
- 3.最简单部分 : 命题 是 数理逻辑中 最基本 , 最简单的部分 ;
( 2 ) 什么是命题 ( 陈述句 | 真假 必居 且 只居 其一 )
什么是命题 :
- 1.命题概念 : 命题 是 陈述客观 外界发生事情的陈述句 ;
- 2.真假其一 : 命题是 或为真 或为假 的 陈述句 ;
- 3.命题特征 : ① 陈述句 ; ② 真假必居其一 , 只居其一 ;
- 4.命题判定的说明 : 以下两种情况是命题 ;
- ① 针对将来发生的事 : 只要是 真假只居其一 , 并且是陈述句 , 那么这就是命题 , 虽然现在不知道是真是假 , 但是必定是 非真既假 ;
- ② 未证明的定理 : 如 哥德巴赫猜想 , 我们 不知道其真假 , 但是其 如果证明出来 必定是非真既假 的 陈述句 , 因此也是命题 ;
2. 命题 举例
( 1 ) 命题举例 ( 非真即假 | 将来会知道 必是真假 | 将来会证明 必是真或假 )
下面句子都是命题 :
- 1.( 8小于10 ; ) : 陈述 8 和 10 之间的关系 , 是 真命题 ; 这件事已经发生了 ;
- 2.( 8大于10 ; ) : 陈述 8 和 10 之间的关系 , 陈述错了 , 是个假命题 ; 这件事是不可能发生的 ; 但其是 陈述句 并且 非真既假 ;
- 3.( 二十一世纪末 , 人类将住在太空 ; ) : 是陈述句 , 还没有发生 , 但肯定是非真即假 , 将来是否发生 不确定 , 但是 我们不知道 不代表不存在 , 在某个时间就会知道 , 如 二十一世纪末最后 1 秒 ;
- 4.( 任一个 > 5 的偶数可表成两个素数的和 – 哥德巴赫猜想 ) : 皇冠上的明珠 , 是一个命题 , 是陈述句 , 但现在不知道真假 ; 但是终究会证明这个猜想 ;
- 5.( 2 \sqrt{2} 2 的小数展开式中 12345 出现偶数多次 ; ) : 有真假 , 但是真假不知道什么时候知道 ;
( 2 ) 不是命题举例 ( 不是陈述句 | 没有做出判断 | 真假不确定 | 悖论 )
不是命题 :
- 1.( 8 大于 10 吗 ? ) : 不是陈述句 , 是 疑问句 ;
- 2.( 请勿吸烟 ! ) : 不是陈述句 , 是 祈使句 , 没有做出判断 , 真假不确定 ;
- 3.( X 大于 Y . ) : 是陈述句 , 但是 真假 不确定 ;
- 4.( 我正在撒谎 . – 悖论 ) : 是陈述句 , 但属于悖论 ;
- ① 外层含义 : 如果 我在撒谎 , 这个命题为假 ; 如果 我没撒谎 , 这个命题为真 ;
- ② 如果命题为真 : 说明我在撒谎 , 含义是 这个命题是假 , 出现了矛盾 ;
- ③ 如果命题为假 : 说明我没有撒谎 , 含义是 这个命题是真的 , 出现了矛盾 ;
二. 复合命题 与 命题符号化
1. 联结词 和 复合命题
( 1 ) 复杂命题 引入 ( 复合命题真假由其组成的小命题的真假进行判断 )
复杂命题 : 由 简单命题 能 构造 更加 复杂的命题 ;
- 1.期中考试 , 张三 没有 考及格 ;
- 2.其中考试 , 张三和李四 都 考及格了 ;
- 3.其中考试 , 张三和李四中 有人 考了90分 ;
- 4.如果 张三能考 90 分 , 那么李四 也 能考 90 分 ;
- 5.张三能考 90 分 当且仅当 李四 也能考 90 分 ;
( 2 ) 联结词 和 复合命题
联结词 和 复合命题 :
- 1.联结词 : 上述 没有 , 如果 那么 , 等连词 成为 联结词 ;
- 2.复合命题 : 由联结词 和 命题 连接而成的 更加复杂命题 成为 复合命题 ;
- 3.简单命题 : 相对地 , 不能分解成 更简单 的命题 成为简单命题 ;
- 4.复合命题真假 : 复合命题 的 真假 完全 由 构成它 的简单命题 的 真假决定 ;
- 5.简单命题 和 复合命题 的划分 是 相对的 ;
2. 命题符号化
( 1 ) 命题符号化
命题符号化 :
1.命题符号化 : 将 命题 符号化 , 记为 p , q , r , ⋯ p , q , r , \cdots p,q,r,⋯ , 类似于 代数 中 使用 a a a 代表 1 数字一样 ;
2.符号是变量 :
- ① 代表数字 : 在代数中 , 使用字母 a a a 代替 数字 , 具体代表哪个数字 并不确定 , 只知道这是个数字即可 ;
- ② 代表命题 : 同理 , 命题符号 p , q , r p, q, r p,q,r 代替 命题 , 具体代表哪些命题 也不确定 , 只知道这是个命题即可 ;
3.常元 和 变元 :
- ① 常元 : 代数中 字母 a 确定的表示某个数字时 , 称为 常元 ;
- ② 变元 : 代数中 字母 a 表示不确定的数字时 , 称为 变元 ;
4.命题常元 和 命题变元 :
- ①命题常元 : 命题 p p p 代表 确定 的命题时 , 称为 命题常元 ;
- ②命题变元 : 命题 p p p 代表 不确定 的命题时 , 称为 命题常元 ;
( 2 ) 命题符 取值 号化
命题 真假值 符号化 :
- 1.真 ( True ) : 记为 1 1 1 或 T T T ;
- 2.假 ( False ) : 记为 0 0 0 或 F F F ;
- 3.命题取值 : 命题变元 p 取值取值 0 0 0 或 1 1 1 , 取值 0 0 0 表示 p p p 是真命题 , 取值 1 1 1 表示 p p p 是假命题 ;
三. 联结词
( 1 ) 否定联结词
否定联结词 :
- 1.定义 : 设 p 为 一个命题 , 复合命题 非p 称为 p 的否定式 , 记为 ¬ p \lnot p ¬p ; ¬ \lnot ¬ 成为否定联结词 ;
- 2.真值表 : ¬ p \lnot p ¬p 为真 此时 p 为假 ;
| p | ¬ p \lnot p ¬p |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
( 3 ) 合取联结词
合取联结词 :
- 1.定义 : 设 p , q 为 两个命题 , 复合命题 ” p 而且 q ” 称为 p , q 的合取式 , 记为 p ∧ q p \land q p∧q , ∧ \land ∧ 称为 合取联结词 ;
- 2.真值表 : p ∧ q p \land q p∧q 真 当且仅当 p 与 q 同时真 ;
| p | q | p ∧ q p \land q p∧q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
( 3 ) 析取联结词
析取联结词 :
- 1.定义 : 设 p , q 为 两个命题 , 复合命题 ” p 或者 q ” 称为 p , q 的析取式 , 记为 p ∨ q p \lor q p∨q ; ∨ \lor ∨ 称作 析取联结词 ;
- 2.真值表 : p ∨ q p \lor q p∨q 为真 , 当且仅当 p 与 q 至少有一个为真 ;
| p | q | p ∨ q p \lor q p∨q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
- 3.举例 : 其中考试 , 张三和李四中有人考了90分 ;
- ① p 代表 张三 考了 90分 ;
- ② q 代表 李四考了 90 分 ;
- ③ p ∨ q p \lor q p∨q 代表 : 张三 和 李四中有人考了90分 ;
( 4 ) 蕴含联结词
蕴含联结词 :
- 1.定义 : 设 p , q 为 命题 , 复合命题 ” 如果 p , 则 q ” 称为 p 对 q 的 蕴涵式 , 记做 p → q p \to q p→q , 其中 又称 p 为 此蕴涵式 的 前件 , 成 q 为 此蕴涵式 的 后件 ; → \to → 为 蕴涵联结词 ;
- 2.真值表 : p → q p \to q p→q 假 当且仅当 p 真 而 q 假 ;
| p | q | p → q p \to q p→q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
- 3.举例 : 如果张三能考 90 分 , 那么李四也能考 90 分 ;
( 5 ) 等价联结词
等价联结词 :
- 1.定义 : 设 p , q 为 命题 , 复合命题 ” p 当且仅当 q ” 称作 p , q 的等价式 , 记做 p ↔ q p \leftrightarrow q p↔q , ↔ \leftrightarrow ↔ 记做等价联结词 ;
- 2.真值表 : p ↔ q p \leftrightarrow q p↔q 真 当且仅当 p , q 同时为真 或 同时为假 ;
| p | q | p ↔ q p \leftrightarrow q p↔q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
- 3.举例 : 张三能考 90 分 当且仅当 李四 也能考 90 分
三. 命题符号化示例
( 1 ) 命题符号化 ( 仔细看三个例子 )
命题符号化 :
1.铁 和 氧 化合 , 但 铁 和 氮 不化合 ;
- ① 命题 p : 铁和氧化合 ;
- ② 命题 q : 铁和氮化合 ;
- ③复合命题 : p ∧ ( ¬ q ) p \land ( \lnot q ) p∧(¬q) ;
2.如果我下班早 , 就去商店看看 , 除非我很累 ;
- ① 命题 p : 我下班早 ;
- ② 命题 q : 去商店看看 ;
- ③ 命题 r : 我很累 ;
- ④ 复合命题 : ( ( ¬ r ) ∧ p ) → q ( ( \lnot r ) \land p ) \to q ((¬r)∧p)→q : 去商店的前提 是 不累 并且 下班早 ;
3.李四是计算机系的学生 , 他住在312室 或 313 室 ;
- ① 命题 p : 李四是计算机系学生 ;
- ② 命题 q : 李四住在 312 室;
- ③ 命题 r : 李四住在 313 室 ;
- ④ 复合命题 : p ∧ ( ( q ∨ r ) ∧ ( ¬ ( q ∧ r ) ) ) p \land ( ( q \lor r ) \land ( \lnot ( q \land r ) ) ) p∧((q∨r)∧(¬(q∧r))) ;注意 这里 李四 只能住在 312 或者 313 之间的一个, 不能都住进入, 因此需要将 q ∧ r q \land r q∧r 的情况排除 , ¬ ( q ∧ r ) \lnot ( q \land r ) ¬(q∧r) ;
- ⑤ 复合命题 : p ∧ ( ( q ∧ ( ¬ r ) ) ∨ ( ( ¬ q ) ∧ r ) ) p \land ( ( q \land ( \lnot r ) ) \lor ( ( \lnot q ) \land r ) ) p∧((q∧(¬r))∨((¬q)∧r)) ; 这里 李四 住在 312 不住在 313, 李四住在 313 不住在 312 只能取其中一种情况 ;
( 2 ) 命题符号化 注意点 ( ① 联结词 与 日常词汇不一致 | ② 命题真假根据定义理解 | ③ 不能对号入座 | ④ 有些词也可以表示为五个联结词 )
命题符号化注意点 :
- 1.联结词与日常词汇不完全一致 : 上述 五个联结词 非 , 析取 , 合取 , 蕴涵 , 等价 , 来源于 日常使用的 相应词汇 , 但是不完全一致 ;
- 2.命题真假根据定义理解 : 联结词组成的复合命题的真假值 要根据 它们 的 定义 去理解 , 不能根据日常语言的含义去理解 , 如 肉夹馍之类的 日常含义 ;
- 3.不能对号入座 : 不要 见到 或 就表示成 ∨ \lor ∨ 析取 , 如上面的住在 312 或 313 的情况 , 要考虑 只住在 312 , 只住在 313 , 同时住在 312 和 313 的情况 ;
- 4.有些词也可以表示为这五个联结词 : 如 “但是” 可以表示成 “ ∧ \land ∧” ;
