剑指Offer解题报告(Java版)——n个骰子的点数 43

问题

   

n个骰子朝上的数之和为s,求s的所有可能以及概率

   

分析问题

   

如果是用笨方法,一般人最开始都会想到笨方法,那就是枚举法

   

举个例子,比如两个骰子,第一个骰子的结果为1,2,3,4,5,6,两个骰子的结果是2,3,4,5,6,7;3,4,5,6,7,8;4,5,6,7,8,9;……7,8,9,10,11,12,共三十六种,用n平方size的数组记录这36个结果

   

仔细分析可以发现其实这其中有很多是重复的,所以去除重复,考虑最小的应该是2,也就是n,最大的应该是12,也就是6n

   

所以所有的结果应该只有6n-n+1=5n+1种,如果我们开辟一个最大index=6n的数组也就是size为6n+1的数组就可以放下这所有的结果,但是其中index为0-(n-1)的位置上没有数放,这里我们有两种解决方案,一种是就让它空着,这样的好处是,结果为s的就可以直接放在index为s的位上,不过如果我们想节省这部分的空间,可以将所有数据往前移一下,也就是把和为s的放在s-n上即可,这样我们就只需要size为5n+1的数组

   

所以我们再声明一个结果数组,5n+1大小,通过遍历前面的n平方大小的数组,出现和为s就在5n+1大小的s-n位上加1即可

   

这样的方式,时间复杂度为n平方,可见并不理想,我们可以降低时间复杂度

   

首先想到是否能退化问题,比如n个骰子与n-1个骰子之间的关系,比如n个骰子的结果是n-1个骰子的结果分别加上1-6而得,于是n-1个骰子的结果又是n-2个骰子的结果分别再加上1-6所得

   

但递归的方法并不是很好,很多重复计算,重复计算的问题可以考虑斐波拉契计算过程,我们最后提出一种以空间换时间的方法,也是传统的记录中间结果的方法,根斐波拉契的优化很像,将某些中间结果存起来以减少递归过程的重复计算问题

   

解决问题

   

主体在如何计算次数,将次数存到数组中,由于要用到递归,我们最好单独写一个base函数,这是我的经验,base函数中的参数要包括递归的时候要用到的那些变量,比如总的n,现在的n,以及现在的sum,以及贯穿始终的次数数组

   

static void baseProbabilities(int numTotal,int numCur,int sum,int[] probabilities){

if (numCur==1) {

probabilities[sum-numTotal]++;

}else {

for (int i = 1; i <=g_maxValue ; i++) {

baseProbabilities(numTotal, numCur-1, sum+i, probabilities);

}

}

}

而计算次数的时候就是去调用这个base的函数

   

for (int i = 1; i <=g_maxValue; i++) {

baseProbabilities(number, number, i, probabilities);

}

   

考虑n=2时的递归过程,首先nT=2,nC=2,sum=1,表明第一个骰子甩出一个1,由于nC=2表明现在有两个骰子,所以进入else部分,i又从1到6循环,表明这是进入到第二个骰子在甩了,首先i为1,表明又甩出一个1,这时候nC=1,就将2-n的位置上加1,表明结果为2的次数加1,然后退到上一层,i++,此时还是第二个骰子在甩,甩出一个2,此时sum=3,nC=1,所以在和为3的位置上加1,一直这样,到了和为7的位置上加1的时候,会退到在上一次循环,这时候表明第一个骰子甩出了一个2,此时进入第二个骰子,依次会出现和为3,4,5,6,7,8的结果,然后再在相应位置上加1即可

   

优化方法

   

我们需要将中间值存起来以减少递归过程中的重复计算问题,可以考虑我们用两个数组ABAB之上得到,B又在A之上再次得到,这样AB互相作为对方的中间值,其实这个思想跟斐波拉契迭代算法中用中间变量保存n-1,n-2的值有异曲同工之妙

   

我们用一个flag来实现数组AB的轮换,由于要轮转,我们最好声明一个二维数组,这样的话,如果flag=0时,1-flag用的就是数组1,如果flag=1时,1-flag用的就是数组0,

   

int[][] probabilities=new int[2][];

probabilities[0]=new int[g_maxValue*number+1];

probabilities[1]=new int[g_maxValue*number+1];

   

我们以probabilities[0]作为初始的数组,那么我们对这个数组进行初始化是要将1-6都赋值为1,说明第一个骰子投完的结果存到了probabilities[0]

   

然后就是第二个骰子,第二个骰子的结果存到probabilities[1],是以probabilities[0]为基础的,此时和为s的次数就是把probabilities[0]中和为s-1,s-2,s-3,s-4,s-5,s-6的次数加起来即可

   

int temp=0;

for(int j=1;j<=i && j<=g_maxValue;++j)

temp+=probabilities[flag][i-j];

probabilities[1-flag][i]=temp;

   

而第k次用k个骰子那么要更新的结果范围就是k到maxValue*k

   

所以连起来就是

   

for(int i=k;i<=g_maxValue*k;++i)

{

int temp=0;

for(int j=1;j<=i && j<=g_maxValue;++j)

temp+=probabilities[flag][i-j];

probabilities[1-flag][i]=temp;

}

   

然后就需要把probabilities[1]作为中间值数组,这里我们把flag赋值为1-flag即可,是不是很神奇!

   

flag=1-flag;

    原文作者:keedor
    原文地址: https://www.cnblogs.com/keedor/p/4474471.html
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