1. 问题描述

输入一个整形数组，求数组中连续的子数组使其和最大。比如，数组x

应该返回 x[2..6]的和187.

2. 问题解决

我们很自然地能想到穷举的办法，穷举所有的子数组的之和，找出最大值。

穷举法

i, j的for循环表示x[i..j]，k的for循环用来计算x[i..j]之和。

maxsofar = 0
for i = [0, n)
    for j = [i, n)
        sum = 0
        for k = [i, j]
            sum += x[k]
        /* sum is sum of x[i..j] */
        maxsofar = max(maxsofar, sum)

有三层循环，穷举法的时间复杂度为\(O(n^3)\)

对穷举法的改进1

我们注意到x[i..j]之和 = x[i..j-1]之和 + x[j]，因此在j的for循环中，可直接求出sum。

maxsofar = 0
for i = [0, n)
    sum = 0
    for j = [i, n)
        sum += x[j]
        /* sum is sum of x[i..j] */
        maxsofar = max(maxsofar, sum)

显然，改进之后的时间复杂度变为\(O(n^2)\)。

对穷举法的改进2

在计算fibonacci数时，应该还有印象：用一个累加数组（cumulative array）记录前面n-1次之和，计算当前时只需加上n即可。同样地，我们用累加数组cumarr记录：cumarr[i] = x[0] + . . . +x[i]，那么x [i.. j]之和 = cumarr[j] -cumarr[i - 1]。

cumarr[-1] = 0
for i = [0, n)
    cumarr[i] = cumarr[i-1] + x[i]
    
maxsofar = 0
for i = [0, n)
    for j = [i, n)
        sum = cumarr[j] - cumarr[i-1]
        /* sum is sum of x[i..j] */
        maxsofar = max(maxsofar, sum)

时间复杂度依然为\(O(n^2)\)。

分治法

所谓分治法，是指将一个问题分解为两个子问题，然后分而解决之。具体步骤如下：

• 先将数组分为两个等长的子数组a, b；
  

• 分别求出两个数组a，b的连续子数组之和；
  

• 还有一种情况（容易忽略）：有可能最大和的子数组跨越两个数组；
  

• 最后比较\(m_a\), \(m_b\), \(m_c\)，取最大即可。

在计算\(m_c\)时，注意：\(m_c\)必定包含总区间的中间元素，因此求\(m_c\)等价于从中间元素开始往左累加的最大值 + 从中间元素开始往右累加的最大值。

float maxsum3(l, u)
    if (l > u) /* zero elements */
        return 0
        
    if (l == u) /* one element */
        return max(0, x[l])
    
    m = (l + u) / 2
    /* find max crossing to left */
    lmax = sum = 0
    for (i = m; i >= l; i--)
        sum += x[i]
        lmax = max(lmax, sum)
    
    /* find max crossing to right */
    rmax = sum = 0
    for i = (m, u]
        sum += x[i]
        rmax = max(rmax, sum)

    return max(lmax+rmax,
                maxsum3(l, m),
                maxsum3(m+1, u));

容易证明，时间复杂度为\(O(n*log \ n)\)。

动态规划

Kadane算法又被称为扫描法，为动态规划（dynamic programming）的一个典型应用。我们用DP来解决最大子数组和问题：对于数组\(a\)，用\(c_i\)标记子数组\(a[0..i]\)的最大和，那么则有

\[ c_i = \max \{ a_i, c_{i-1} + a_i \} \]

子数组最大和即为\(\max c_i\)。Kadane算法比上面DP更进一步，不需要用一个数组来记录中间子数组和。通过观察容易得到：若\(c_{i-1} \leq 0\)，则\(c_i = a_i\)。用\(e\)表示以当前为结束的子数组的最大和，以替代数组\(c\)；那么

\[ e = \max \{ a_i, e + a_i \} \]

Python实现如下：

def max_subarray(A):
    max_ending_here = max_so_far = A[0]
    for x in A[1:]:
        max_ending_here = max(x, max_ending_here + x)
        max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
    return max_so_far

max_ending_here对应于标记\(e\)，max_so_far记录已扫描到的子数组的最大和。Kadane算法只扫描了一遍数组，因此时间复杂度为\(O(n)\).

3. 参考资料

[1] Jon Bentley, Programming Pearls.
[2] GeeksforGeeks, Largest Sum Contiguous Subarray.