算法探讨——再议经典算法问题：求最大子序列和、绝对值最大子序列和以及其区间

给定任一数字序列，如{-5,4,-20,16,-2,-3}，求出其最大子序列和，绝对值最大子序列和以及对应的区间，在这个例子中，人肉计算可知最大子序列和为16，区间为[3,3)（数组下标从0开始），而绝对值最大子序列和为-21，区间为[0,2]，那么算法如何描述及实现呢？

在经典的书籍《数据结构与算法分析 C语言描述第2版》中，作者向我们介绍了求最大子序列和的三种算法，时间复杂度从O(N³)下降到O(N)，求最大子序列和绝对值和以及其区间是我对这一问题的扩展。

一、求最大子序列和以及其区间

求最大子序列和的算法相对简单，并且可以使用动态规划思想将其优化至O(N)，问题的关键：前面已输入的元素的计算结果并不依赖于后面的输入。

O(N²)算法：N次遍历数组，对其中每一个元素，继续遍历后续每个元素，并求和，如发现比当前和大，替换当前和。

C/C++实现：

 1 int maxsub(const int a[],int n)
 2 {
 3     int sum, max, i, j, begin, end;
 4     begin = end = max = 0;
 5     for(i = 0;i < n;i++)
 6     {
 7         sum = 0;
 8         for(j = i;j<n;j++)
 9         {
10             sum += a[j];
11             printf("the second level loop %d loop sum = %d\n",j,sum);
12             printf("the second level loop %d loop max = %d\n",j,max);
13             if(sum > max)
14             {
15                 max = sum;
16                 begin = i;
17                 end = j;
18             }
19         }
20         printf("the %d loop max = %d\n",i+1,max);
21     }
22     printf("--final-- Begin = %d, End = %d\n",begin,end);
23     return max;
24 }

循环结束后，begin与end的值即对应的区间。
O(N)算法：动态规划思想，也称on-line algorithm，即，对于每一个输入，不依赖于后面输入，对每一个输入，立即计算其结果，并保存，然后与后续输入进行比较，若和变大，产生更新。若和总是变小，丢弃之前的输入。

C/C++实现：

int maxsublinear(const int a[], int n)
{
    int i;
    int curSum = 0; /* 当前序列和 */
    int maxSum = 0; /* 最大序列和 */
    int begin = end = 0;

    /* 开始循环求子序列和 */
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        curSum = curSum + a[i];

        /* 与最大子序列和比较，更新最大子序列和 */
        if (curSum > maxSum)
        {
            maxSum = curSum;
            end = i;
        }

        /* 动态规划部分，舍弃当前和为负的子序列 */
        if (curSum < 0)
        {
            curSum = 0;
            begin = i + 1 >= n ? i : i + 1;
        }
    }
    return maxSum;
}

二、求绝对值最大子序列和以及对应的区间

这个问题是对第一个问题的扩展，但比第一个问题复杂的多，O(N²)算法基本相同，也容易理解。

O(N2) C/C++实现：

 1 int maxabssub(const int a[],int n)
 2 {
 3     int sum, max, i, j, begin, end;
 4     begin = end = max = 0;
 5     for(i = 0;i < n;i++)
 6     {
 7         sum = 0;
 8         for(j = i;j<n;j++)
 9         {
10             sum += a[j];
11             printf("the second level loop %d loop sum = %d\n",j,sum);
12             printf("the second level loop %d loop max = %d\n",j,max);
13             if(abs(sum) > max)
14             {
15                 max = abs(sum);
16                 begin = i;
17                 end = j;
18             }
19         }
20         printf("the %d loop max = %d\n",i+1,max);
21     }
22     printf("--final-- Begin = %d, End = %d\n",begin,end);
23     return max;
24 }

O(N)算法，在竹风抚荷塘同学的帮助下，顺利求解。思路其实很简单，绝对值最大的子序列和，要么是和最大，要么是和最小，类似问题一中O(N)算法，同时求每一个输入可能得到的最大和或最小和，再比较即可。下面是C/C++代码实现：

 1 int maxAbsSubLinear(int a[], int n)
 2 {
 3     int posiSum, negaSum, curSum, max, j, begin, end, posiBegin, posiEnd, negaBegin, negaEnd, flag;
 4     posiSum = negaSum = curSum = max = j = begin = end = posiBegin = posiEnd = negaBegin = negaEnd = flag = 0;
 5 
 6     for(j = 0;j < n;j++)
 7     {
 8         if(posiSum + a[j] > a[j])
 9         {
10             posiSum += a[j];
11         }
12         else
13         {
14             posiSum = a[j];
15             posiBegin = j;
16         }
17         if(negaSum + a[j] < a[j])
18         {
19             negaSum += a[j];
20         }
21         else
22         {
23             negaSum = a[j];
24             negaBegin = j;
25         }
26 
27         if( abs(posiSum) > abs(negaSum) )
28         {
29             curSum = abs(posiSum);
30             posiEnd = j;
31             flag = 1;
32         }
33         else
34         {
35             curSum =  abs(negaSum);
36             negaEnd = j;
37             flag = 0;
38         }
39 
40         if(curSum > max)
41         {
42             max = curSum;
43             if(flag)
44             {
45                 begin = posiBegin;
46                 end = posiEnd;
47             }
48             else
49             {
50                 begin = negaBegin;
51                 end = negaEnd;
52             }
53         }
54 
55         printf("IN ABS LINEAR -- LOOP %d, posiSum = %d, negaSum = %d, curSum = %d, max=%d, begin = %d, end = %d\n", j+1, posiSum, negaSum, curSum, max, begin, end);
56     }
57 
58     printf("--LINEAR final-- Begin = %d, End = %d\n",begin,end);
59     return max;
60 }

再次感谢竹风抚荷塘同学。