1. 递归：

先说一个递归的含义，就是在某个函数内部调用这个函数本身，或者说，调用一个与该函数完全相同的函数。

最简单的一个递归的应用就是，辗转相除法求最大公约数Gcd：

LL gcd(LL x, LL y) {
    if(x % y == 0) return y;
    else return gcd(y, x % y);
}

2. dfs（深度优先搜索）：

dfs 也有几个很常见的应用，基础思想也是递归，下面简单说下常见的dfs应用：

（1）八皇后问题 & N皇后问题：

对应题目：HDU – 2553

八皇后问题，就是在8 * 8的棋盘上摆放八个皇后，要求这八个皇后，不同行，不同列，不同对角线， 问多少种摆法。

代码如下：

#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define N 8 //八皇后 int ans; int col[10]; //col[i]表示, 第i行的皇后放在第col[i]列 void dfs(int k) { if(k == N) ans++; else { for(int i = 0; i < N; i++) { bool flg = 1; col[k] = i; for(int j = 0; j < k; j++) { //判断第k行的皇后与第j行的皇后是否在同一列, 是否在同一对角线 if(col[k] == col[j] || k - col[k] == j - col[j] || k + col[k] == j + col[j]) { flg = 0; //同一主对角线上的元素的(行 - 列)是一个常数, 同一副对角线上的元素的(行 + 列)是一个常数 break; } } if(flg) dfs(k + 1); } } } int main() { dfs(0); printf("%d\n", ans); } 

接下来是N皇后，开一个全局的N即可，传入一个N，为了防止超时，可以打表，代码如下：

#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int col[13]; int N; /*void dfs(int k) {
	if(k == N) ans++;
	else {
		for(int i = 0; i < N; i++) {
			bool flg = 1;
			col[k] = i;
			for(int j = 0; j < k; j++) {
				if(col[k] == col[j] || k - col[k] == j - col[j] || k + col[k] == j + col[j]) {
					flg = 0;
					break;
				}
			}
			if(flg) dfs(k + 1);
		}
	}
}*/ int ans[11] = {-1, 1, 0, 0, 2, 10, 4, 40, 92, 352, 724}; int main() { while(~scanf("%d", &N) && N) { //ans = 0; //dfs(0); printf("%d\n", ans[N]); } }

所谓打表，就是将 dfs 跑出的 1 ~ 10 皇后的结果存进ans数组，在输出ans[N]即可。

（2）全排列问题：

对应题目：HDU – 1716

先说下 1 ~ N 的全排列（字典序升序），代码如下：

#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <string> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; int n; bool vis[10]; int ans[10]; void Dfs(int x) { if(x == n + 1) { for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", ans[i]); printf("\n"); } for(int i = 1; i <= n; i++) { if(!vis[i]) { vis[i] = 1; ans[x] = i; Dfs(x + 1); vis[i] = 0; } } } int main() { scanf("%d", &n); Dfs(1); return 0; }

下面仿照上面的思路，写一下传进任意四个数，所能形成的四位数的全排列（以字典序升序），代码如下：

#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <string> #include <cmath> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int maxx = 1e5 + 7; bool vis[10]; int ans[10]; int t[10]; int n; bool chk[maxx]; int res[maxx]; int p; void Dfs(int x) { if(x == 5) { int tmp = 0; for(int i = 1; i <= 4; i++) { tmp += ans[i] * pow(10, 4 - i); } if(!chk[tmp] && tmp >= 1000) { p++; res[p] = tmp; chk[tmp] = 1; } } for(int i = 1; i <= 4; i++) { if(!vis[i]) { vis[i] = 1; ans[x] = t[i]; Dfs(x + 1); vis[i] = 0; } } } int main() { bool flg = 0; int cnt = -1; while(scanf("%d %d %d %d", &t[1], &t[2], &t[3], &t[4]) != EOF) { if(t[1] == 0 && t[2] == 0 && t[3] == 0 && t[4] == 0) break; memset(chk, 0, sizeof(chk)); memset(vis, 0, sizeof(vis)); memset(res, 0, sizeof(res)); p = 0; sort(t + 1, t + 5); Dfs(1); for(int i = 1; i <= p; i++) printf("%d\n", res[i]); } }

（3）连通及连通块问题：

对应题目：HDU – 1312 、HDU – 1241 、Codeforces – 377A 、POJ – 2386

HDU – 1312 题解：

#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; int n, m, ans; char str[25][25]; int dx[5] = {-1, 0, 1, 0}; int dy[5] = {0, -1, 0, 1}; void dfs(int x, int y) { if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > m) return; if(str[x][y] != '.') return; ans++; str[x][y] = '#'; for(int i = 0; i < 4; i++) { int xx = x + dx[i]; int yy = y + dy[i]; dfs(xx, yy); } } int main() { while(~scanf("%d %d", &m, &n)) { if(n == 0 && m == 0) break; int x, y; ans = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) { for(int j = 1; j <= m; j++) scanf(" %c", &str[i][j]); } for(int i = 1; i <= n; i++) { for(int j = 1; j <= m; j++) { if(str[i][j] == '@') x = i, y = j; } } str[x][y] = '.'; dfs(x, y); printf("%d\n", ans); } return 0; }

HDU – 1241 题解：

#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cmath> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; int n, m; char s[110][110]; void dfs(int x, int y) { if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > m) return; if(s[x][y] == '*') return; s[x][y] = '*'; for(int i = -1; i <= 1; i++) { for(int j = -1; j <= 1; j++) { if(i != 0 || j != 0) dfs(x + i, y + j); } } } int main() { while(~scanf("%d %d", &n, &m) && n && m) { int ans = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) scanf(" %c", &s[i][j]); for(int i = 1; i <= n; i++) { for(int j = 1; j <= m; j++) { if(s[i][j] == '@') { ans++; dfs(i, j); } } } printf("%d\n", ans); } } 

Codeforces – 377A 题解：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
int h, w, t;
char str[550][550];

void dfs(int x, int y) {
	if(x < 1 || x > h || y < 1 || y > w) return;
	if(str[x][y] != '.') return;
	str[x][y] = '!';
	int num = 0;
	for(int i = -1; i <= 1; i++) {
		for(int j = -1; j <= 1; j++) {
			if(!t) return;
			if(fabs(i) != fabs(j)) {
				dfs(x + i, y + j);
				if(str[x + i][y + j] == '.') num++;
			}
		}
	}
	if(num == 0) {
		str[x][y] = 'X';
		t--;
	}
}

int main() {
	scanf("%d %d %d", &h, &w, &t);
	for(int i = 1; i <= h; i++) {
		for(int j = 1; j <= w; j++) scanf(" %c", &str[i][j]);
	}
	for(int i = 1; i <= h; i++) {
		for(int j = 1; j <= w; j++) {
			dfs(i, j);
		}
	}
	for(int i = 1; i <= h; i++) {
		for(int j = 1; j <= w; j++) {
			if(str[i][j] == '!') str[i][j] = '.';
		}
	}
	for(int i = 1; i <= h; i++) {
		for(int j = 1; j <= w; j++) printf("%c", str[i][j]);
		printf("\n");
	}
	return 0;
} 

POJ – 2386 题解：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, m;
char str[110][110];

void dfs(int x, int y) {
	if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > m) return;
	if(str[x][y] == '.') return;
	str[x][y] = '.';
	for(int i = -1; i <= 1; i++) {
		for(int j = -1; j <= 1; j++) {
			if(i != 0 || j != 0) dfs(x + i, y + j);
		}
	}
}

int main() {
	int p = 0;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++) scanf(" %c", &str[i][j]);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= m; j++) {
			if(str[i][j] == 'W') {
				p++;
				dfs(i, j);
			}
		}
	}
	printf("%d\n", p);
	return 0;
}

（4）可转化为深搜的其他应用：

对应题目：Codeforces – 96B

我不会转化为dfs的模型，纯暴力打表过的，我博客写过这题题解，详见链接：

https://blog.csdn.net/ericgipsy/article/details/80164017

3. bfs（广度优先搜索）：

（1）最短路问题：

bfs主要应用于求图内某一点到另一点的最短路径，模板代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxx = 1e5 + 7;
const int Inf = 1 << 30;

char s[55][55];
int vis[55][55];
int dd[4][2] = {1, 0, -1, 0, 0, 1, 0, -1};
int n, m;
int ans, res;

struct PP {
    int x, y, flg;
} p, q;

int Bfs(int x, int y) { //返回的是最短路径经过的所有点的个数
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    queue <PP> qua;
    p.x = x, p.y = y, p.flg = 1;
    qua.push(p);
    while(!qua.empty()) {
        q = qua.front();
        qua.pop();
        if(q.x == n && q.y == m) return q.flg;
        if(!vis[q.x][q.y]) {
            vis[q.x][q.y] = 1;
            for(int i = 0; i < 4; i++) {
                int dx = q.x + dd[i][0];
                int dy = q.y + dd[i][1];
                if (dx >= 1 && dx <= n && dy >= 1 && dy <= m && s[dx][dy] != ‘#’ && !vis[dx][dy]) {
                    PP tmp;
                    tmp.x = dx, tmp.y = dy, tmp.flg = q.flg + 1;
                    qua.push(tmp);
                }
            }
        }
    }
    return -1;
}

void Init() {
    scanf(“%d %d”, &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf(“%s”, s[i] + 1);
}

int main() {
    Init();
    cout << Bfs(1, 1) << endl;
}

由于bfs对路径是实时更新的，所以无法保存路径，可以借助dfs或者vector保存路径。

对应题目：Atcoder Beginner Contest 088 – D

题解：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxx = 1e5 + 7;
const int Inf = 1 << 30;

char s[55][55];
int vis[55][55];
int dd[4][2] = {1, 0, -1, 0, 0, 1, 0, -1};
int n, m;
int ans, res;

struct PP {
	int x, y, flg;
} p, q;

int Bfs(int x, int y) {
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	queue <PP> qua;
	p.x = x, p.y = y, p.flg = 1;
	qua.push(p);
	while(!qua.empty()) {
		q = qua.front();
		qua.pop();
		if(q.x == n && q.y == m) return q.flg;
		if(!vis[q.x][q.y]) {
			vis[q.x][q.y] = 1;
			for(int i = 0; i < 4; i++) {
				int dx = q.x + dd[i][0];
				int dy = q.y + dd[i][1];
				if (dx >= 1 && dx <= n && dy >= 1 && dy <= m && s[dx][dy] != '#' && !vis[dx][dy]) {
					PP tmp;
					tmp.x = dx, tmp.y = dy, tmp.flg = q.flg + 1;
					qua.push(tmp);
				}
			}
		}
	}
	return -1;
}

void Init() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", s[i] + 1);
}

int main() {
	Init();
	ans = n * m;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++) if(s[i][j] == '#') ans--;
	if(s[1][1] == '#' || s[n][m] == '#') res = -1;
	else res = Bfs(1, 1);
	if(res == -1) ans = -1;
	else ans -= res;
	cout << ans << endl;
}

（2）可转化为最短路的其他应用：

对应题目：POJ – 3278

POJ – 3278 题解：

#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <queue> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int maxx = 1e5 + 7; int N, K; bool vis[2 * maxx]; struct PP { int ans; int dp; } p, q; queue <PP> qua; int Bfs(int n, int k) { p.ans = 0, p.dp = n; qua.push(p); while(!qua.empty()) { p = qua.front(); qua.pop(); if(p.dp == k) return p.ans; if(p.dp < k && !vis[p.dp * 2]) { q.dp = p.dp * 2; q.ans = p.ans + 1; vis[q.dp] = 1; qua.push(q); } if(p.dp < k && !vis[p.dp + 1]) { q.dp = p.dp + 1; q.ans = p.ans + 1; vis[q.dp] = 1; qua.push(q); } if(p.dp - 1 >= 0 && !vis[p.dp - 1]) { q.dp = p.dp - 1; q.ans = p.ans + 1; vis[p.dp] = 1; qua.push(q); } } } int main() { cin >> N >> K; if(N >= K) cout << N - K << endl; else cout << Bfs(N, K) << endl; return 0; }