什么是T检验？
T检验是假设检验的一种，又叫student t检验（Student’s t test），主要用于样本含量较小（例如n<30），总体标准差σ未知的正态分布资料。
T检验用于检验两个总体的均值差异是否显著。
一个例子
例1：
“超级引擎”工厂是一家专门生产汽车引擎的工厂，根据政府发布的新排放要求，引擎排放平均值应低于20ppm，如何证明生产的引擎是否达标呢？（排放量的均值小于20ppm）
思路1
一个直接的想法就是，把这个工厂所有的引擎都测试一下，然后求一下排放平均值就好了。比如工厂生产了10个引擎，排放水平如下：
15.6 16.2 22.5 20.5 16.4
19.4 16.6 17.9 12.7 13.9
排放平均值为
(15.6+16.2+22.5+20.5+16.4+19.4+16.6+17.9+12.7+13.9)/10=17.17(15.6+16.2+22.5+20.5+16.4+19.4+16.6+17.9+12.7+13.9)/10=17.17
小于政府规定的20ppm，合格！
这也太简单了！
然而，随着“超级引擎”工厂规模逐渐增大，每天可以生产出10万个引擎，如果把每个引擎都测试一遍，估计要累死人了……
有没有更好的方法？
思路2
由于引擎数量太多，把所有引擎测试一遍太麻烦了，“智多星”有一个好想法：
可不可以采用“反证法”？先假设所有引擎排放量的均值为μμ，然后随机抽取10个引擎，看看这10个引擎的排放量均值与假设是否相符，如果相符，则认为假设是正确的，反之认为假设是错误的。这样，就可以通过一小部分数据推测数据的总体，真是太棒了！
具体怎么操作呢？
先建立两个假设，分别为:
H0:μ⩾20H0:μ⩾20 (原假设)
H1:μ<20H1:μ<20 (备择假设)
【μμ代表总体(所有引擎的排放量)均值】
在原假设成立的基础上，求出”取得样本均值或者更极端的均值”的概率，如果概率很大，就倾向于认为原假设H0H0是正确的，如果概率很小，就倾向于认为原假设H0H0是错误的，从而接受备择假设H1H1。
那么如何求这个概率p呢？
这就需要引入一个概念——统计量
简单的讲，统计量就类似于用样本已知的信息(如样本均值，样本标准差)构建的一个“标准得分”，这个“标准得分”可以让我们求出概率p
由于样本服从正态分布，且样本数量较小(10)，所以这里要用到的统计量为t统计量，公式如下：
t=x¯−μS/n−−√∼t(n−1)
t=x¯−μS/n∼t(n−1)
x¯:样本均值x¯:样本均值
μ:总体均值μ:总体均值
S:样本标准差S:样本标准差
n:样本容量n:样本容量
该tt统计量服从自由度为n−1n−1的t分布
让我们试验一下！
现在抽取出10台引擎供测试使用，每一台的排放水平如下：
15.6 16.2 22.5 20.5 16.4
19.4 16.6 17.9 12.7 13.9
样本均值
x¯=∑nk=1xkn=(15.6+16.2+22.5+20.5+16.4+19.4+16.6+17.9+12.7+13.9)10=17.17
x¯=∑k=1nxkn=(15.6+16.2+22.5+20.5+16.4+19.4+16.6+17.9+12.7+13.9)10=17.17
样本方差
S2=∑nk=1(xk−x¯)n−1
S2=∑k=1n(xk−x¯)n−1
样本标准差
S=S2−−√=(15.6−17.17)2+(16.2−17.17)2+⋯+(13.9−17.17)2n−1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=2.98
S=S2=(15.6−17.17)2+(16.2−17.17)2+⋯+(13.9−17.17)2n−1=2.98
我们把原假设μ⩾20μ⩾20拆分，先考虑μ=20μ=20的情况
将数值带入t统计量公式中，可以得出t=17.17−202.98/10√=−3.00t=17.17−202.98/10=−3.00
由于t统计量服从自由度为9的t分布，我们可以求出t统计量小于-3.00的概率，即下图阴影部分面积
p值
通过查询t分位数表(见附录)，我们可知，当自由度为9时，t统计量小于-2.821的概率为1%，而我们求得的t统计量为-3.00，所以t统计量小于-3.00的概率比1%还要小(因为-3.00在-2.81的左边，所以阴影面积更小)。
这个概率值通常被称作“p值”，即在原假设成立的前提下，取得“像样本这样，或比样本更加极端的数据”的概率。
到这里，我们可以总结出如下结论：
在μ=20μ=20成立(所有引擎排放均值为20ppm)的前提下，从所有引擎中随机选出10个引擎，这10个引擎排放均值小于17.17的概率小于1%
再考虑μ>20μ>20的情况:
由t统计量的公式t=x¯−μS/n√t=x¯−μS/n可以看出，当μμ增大，其他变量均保持不变时，tt统计量的值会变小，因此求概率时阴影面积也会变小，总结来看，我们得出如下结论：
在μ⩾20μ⩾20成立的前提下，从所有引擎中随机选出10个引擎，这10个引擎排放均值小于17.17的概率小于1%
由于1%的概率很小，所以我们更倾向于认为，原假设H0:μ⩾20H0:μ⩾20是错误的，从而接受备择假设H1H1。
综上，我们认为，所有引擎的排放量均值小于20ppm，工厂生产的引擎符合标准。
第一类错误与第二类错误
在例1中，我们认为1%的概率很小，所以更倾向于认为原假设是错误的，从而接受了备择假设。但这样的判断是准确的吗？为了探讨这个问题，我们考虑以下四种情况：
事实(右)/判断(下) H0H0成立 H1H1成立
H0H0成立 判断正确 第二类错误
H1H1成立 第一类错误 判断正确
即：
如果事实为H0H0成立，而我们做出了接受备择假设H1H1的判断，则犯了第一类错误——拒真
如果事实为H1H1成立，而我们做出了接受原假设H0H0的判断，则犯了第二类错误——取伪
所以用另外一种角度来看上面的例子：
在μ⩾20μ⩾20成立的前提下，从所有引擎中随机选出10个引擎，这10个引擎排放均值小于17.17的概率小于1%，当我们据此做出“拒绝原假设H0H0，接受备择假设H1H1”的结论时，有小于1%的概率犯第一类错误，因为H0H0仍有小于1%的概率是成立的，虽然这个概率很小。
αα值
所以利用t检验做出的结论并不是百分之百正确的，仍有很小的几率会犯错误。对于上面的例子，有些人会认为1%的概率已经很小了，可以拒绝原假设，还有些人会认为1%的概率虽然很小，但不足以拒绝原假设。为了解决这个问题，统计学家们提出了一个阈值，如果犯第一类错误的概率小于这个阈值，就认为可以拒绝原假设，否则认为不足以拒绝原假设。这个阈值就叫αα。
另一种流程
现在，让我们尝试引入αα，用另一种流程解决例1：
建立原假设和备择假设
H0:μ⩾20H0:μ⩾20
H1:μ<20H1:μ<20
确定α
令α=0.05α=0.05(αα的值通常为0.01,0.05,0.1，视具体问题而定)
确定用于决策的拒绝域
在确定了αα和t统计量自由度(根据样本容量可以求出，在这个例子中，自由度为[样本容量-1]）的前提下，我们可以通过查询t分位数表，找出“拒绝域”，如果t统计量落入拒绝域内，就拒绝原假设，否则接收原假设。
根据t分位数表，我们查出当自由度为9时，t⩽−1.833t⩽−1.833的概率为0.05，因此，拒绝域为{tt|t⩽−1.833t⩽−1.833}
查看样本结果是否位于拒绝域内
将样本均值和样本标准差带入t统计量计算公式，得出t=-3.00，落入拒绝域内
做出决策
拒绝原假设H0H0，接受备择假设H1H1，认为样本均值与总体均值差异显著，认为所有的引擎排放量平均值小于20ppm
以上就是t检验的标准化流程。
假设形式与拒绝域的推广
在例1中，我们的假设形式为：
H0:μ⩾x0H0:μ⩾x0
H1:μ<x0H1:μ<x0 (x0x0为某一常数)
拒绝域的形式为{t|t⩽ct|t⩽c} (cc为某一常数)，如果用数轴表示，形如：
假设的形式与拒绝域的形式有没有什么联系呢？
为了进一步讨论，我们将假设的形式做如下分类：
类别1：备择假设中包含≠≠
1.1 H0:μ=x0H0:μ=x0 vs H1:μ≠x0H1:μ≠x0
类别2：备择假设中包含>或<>或<
2.1 H0:μ=x0H0:μ=x0 vs H1:μ>x0H1:μ>x0
2.2 H0:μ=x0H0:μ=x0 vs H1:μ<x0H1:μ<x0
2.3 H0:μ⩾x0H0:μ⩾x0 vs H1:μ<x0H1:μ<x0
2.4 H0:μ⩽x0H0:μ⩽x0 vs H1:μ>x0H1:μ>x0
注意：原假设和备择假设不一定将数轴全部覆盖，在实际生活中，形如2.1和2.2的问题是存在的
类别1称为双尾检验，由于备择假设中包含≠≠，拒绝域分布在两侧
类别2称为单尾检验
备择假设中包含>>的情形，拒绝域在数轴右侧
备择假设中包含<<的情形，拒绝域在数轴左侧
t检验的分类
t检验分为单总体t检验和双总体t检验
单总体t检验
检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数差异是否显著。
适用条件：
1.总体服从正态分布
2.样本量小于30（当样本量大于30时，用Z统计量)
统计量：
t=x¯−μS/n−−√∼t(n−1)
t=x¯−μS/n∼t(n−1)
x¯x¯——样本均值
μμ——总体均值
SS——样本标准差
nn——样本容量
例1就是单样本t检验的例子。
双总体t检验
检验两个样本各自所代表的总体的均值差异是否显著，包括独立样本t检验和配对样本t检验
独立样本t检验
检验两个独立样本所代表的总体均值差异是否显著。
适用条件：
1.两样本均来自于正态总体
2.两样本相互独立
3.满足方差齐性（两总体方差相等）
统计量：
t=x¯−y¯Sw1m+1n−−−−−−√∼t(m+n−2)
t=x¯−y¯Sw1m+1n∼t(m+n−2)
其中
Sw=1m+n+1[(m−1)S21+(n−1)S22]
Sw=1m+n+1[(m−1)S12+(n−1)S22]
x¯x¯——第一个样本均值
y¯y¯——第二个样本均值
mm——第一个样本容量
nn——第二个样本容量
S21S12——第一个样本方差
S22S22——第二个样本方差
配对样本t检验
检验两个配对样本所代表的总体均值差异是否显著。
配对样本主要包含以下两种情形：
1.同源配对,也就是同质的对象分别接受两种不同的处理。例如：为了验证某种记忆方法对改善儿童对词汇的记忆是否有效，先随机抽取40名学生，再随机分为两组。一组使用该训练方法，一组不使用，三个月后对这两组的学生进行词汇测验，得到数据。问该训练方法是否对提高词汇记忆量有效？
2.自身配对
2.1某组同质对象接受两种不同的处理。例如：某公司推广了一种新的促销方式，实施前和实施后分别统计了员工的业务量，得到数据。试问这种促销方式是否有效？
适用条件：
每对数据的差值必须服从正态分布
统计量：
t=xd¯Sd/n−−√
t=xd¯Sd/n
两配对样本对应元素做差后形成的新样本
xd¯xd¯——新样本均值
SdSd——新样本标准差
nn——新样本容量
附录
什么是t分布
t分布的形状与正态分布很相似，都是中间高，两端低的“钟形”，当t分布的自由度为无穷大时，其形状与正态分布相同，随着自由度的减小，t分布的中间变低，两端变高，与正态分布相比更加“平坦”。
为什么t统计量服从t分布
单样本t检验
设x1,x2,⋯,xnx1,x2,⋯,xn来自正态分布总体N(μ,σ2)N(μ,σ2),则
均值x¯=1n∑ni=1xix¯=1n∑i=1nxi
方差S2=1n−1∑ni=1(xi−x¯)2S2=1n−1∑i=1n(xi−x¯)2
且有：
1.x¯x¯与S2S2相互独立
2.x¯∼N(μ,σ2μ)x¯∼N(μ,σ2μ)
3.(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)
所以：
x¯−μσ/n√∼N(0,1)x¯−μσ/n∼N(0,1)
(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)
所以：
x¯−μσ/n√/(n−1)S2σ2/(n−1)−−−−−−−−−−−−√=x¯−μS/n√∼t(n−1)x¯−μσ/n/(n−1)S2σ2/(n−1)=x¯−μS/n∼t(n−1)
独立样本t检验
x1,x2,⋯,xnx1,x2,⋯,xn来自正态分布总体N(μ1,σ21)N(μ1,σ12)
y1,y2,⋯,yny1,y2,⋯,yn来自正态分布总体N(μ2,σ22)N(μ2,σ22)
且两样本是独立的
当σ1σ1与σ2σ2已知：x¯−y¯∼N(μ1−μ2,σ21m+σ22n)x¯−y¯∼N(μ1−μ2,σ12m+σ22n)
μ=(x¯−y¯)−(μ1−μ2)σ21m+σ22n−−−−−−−√∼N(0,1)
μ=(x¯−y¯)−(μ1−μ2)σ12m+σ22n∼N(0,1)
当σ1σ1与σ2σ2未知时:
σ21=σ22=σ2σ12=σ22=σ2时，x¯−y¯∼N(μ1−μ2,(1m+1n)σ2)x¯−y¯∼N(μ1−μ2,(1m+1n)σ2)
因为：
1σ2∑mi=1(xi−x¯)2∼χ2(m−1)1σ2∑i=1m(xi−x¯)2∼χ2(m−1)
1σ2∑ni=1(yi−y¯)2∼χ2(n−1)1σ2∑i=1n(yi−y¯)2∼χ2(n−1)
所以：
1σ2∑mi=1(xi−x¯)2+1σ2∑ni=1(yi−y¯)2∼χ2(m+n−2)1σ2∑i=1m(xi−x¯)2+1σ2∑i=1n(yi−y¯)2∼χ2(m+n−2)
因卡方分布χ2χ2具有可加性
令S2w=1m+n−2[∑mi=1(xi−x¯)2+∑ni=1(yi−y¯)2]Sw2=1m+n−2[∑i=1m(xi−x¯)2+∑i=1n(yi−y¯)2]
t=(x¯−y¯)−(μ1−μ2)Sw1m+1n−−−−−−√
t=(x¯−y¯)−(μ1−μ2)Sw1m+1n
当假设两总体均值相等，即μ1=μ2μ1=μ2时：
t=x¯−y¯Sw1m+1n−−−−−−√
t=x¯−y¯Sw1m+1n
其中：
Sw=1m+n−2[(m−1)S21+(n−1)S22]
Sw=1m+n−2[(m−1)S12+(n−1)S22]
配对样本t检验
可将两配对样本对应元素做差，得到新样本，这个新样本可视作单样本，与单样本t检验统计量证明方法相同。
p值参照表
p值 碰巧的概率 对原假设 统计意义
P>0.05 碰巧出现的可能性不大于5% 不能否定原假设 两组差别无显著意义
P<0.05 碰巧出现的可能性小于5% 可以否定原假设 两组差别有显著意义
p<0.01 碰巧出现的可能性小于1% 可以否定原假设 两组差别有非常显著意义
t分位数表
单侧 75% 80% 85% 90% 95% 97.50% 99% 99.50% 99.75% 99.90% 99.95%
双侧 50% 60% 70% 80% 90% 95% 98% 99% 99.50% 99.80% 99.90%
1 1 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 31.82 63.66 127.3 318.3 636.6
2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.92 4.303 6.965 9.925 14.09 22.33 31.6
3 0.765 0.978 1.25 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.21 12.92
4 0.741 0.941 1.19 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.61
5 0.727 0.92 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869
6 0.718 0.906 1.134 1.44 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959
7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408
8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.86 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041
9 0.703 0.883 1.1 1.383 1.833 2.262 2.821 3.25 3.69 4.297 4.781
10 0.7 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587
11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437
12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.93 4.318
13 0.694 0.87 1.079 1.35 1.771 2.16 2.65 3.012 3.372 3.852 4.221
14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.14
15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073
16 0.69 0.865 1.071 1.337 1.746 2.12 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015
17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.74 2.11 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965
18 0.688 0.862 1.067 1.33 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.61 3.922
19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883
20 0.687 0.86 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.85
21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.08 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819
22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792
23 0.685 0.858 1.06 1.319 1.714 2.069 2.5 2.807 3.104 3.485 3.767
24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745
25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.06 2.485 2.787 3.078 3.45 3.725
26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707
27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.69
28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674
29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659
30 0.683 0.854 1.055 1.31 1.697 2.042 2.457 2.75 3.03 3.385 3.646
40 0.681 0.851 1.05 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551
50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496
60 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2 2.39 2.66 2.915 3.232 3.46
80 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.99 2.374 2.639 2.887 3.195 3.416
100 0.677 0.845 1.042 1.29 1.66 1.984 2.364 2.626 2.871 3.174 3.39
120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.98 2.358 2.617 2.86 3.16 3.373
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