通常参与技术计算。 数据来源可以是实验观察或数值计算。 插值和曲线拟合之间是有区别的。 在插值中，我们通过数据点构造一条曲线。 这样做时，我们隐含了一个假设，即数据点是准确且不同的。 相反，曲线拟合应用于通常由测量误差引起的包含散射（噪声）的数据。 在这里，我们要找到一条平滑的曲线，可以从某种意义上近似该数据。 因此，曲线不一定会击中数据点。 插值和曲线拟合之间的差异如图1所示。
图1
多项式插值
拉格朗日法
插值的最简单形式是多项式。 始终可以构造一个唯一的次数为 n n n的多项式，该多项式通过 n + 1 n+1 n+1个不同的数据点。 获得该多项式的一种方法是拉格朗日公式，
P n ( x ) = ∑ i = 0 n y i ℓ i ( x ) , ( 1 a ) P_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n} y_{i} \ell_{i}(x),\qquad(1a) Pn(x)=i=0∑nyiℓi(x),(1a)
其中下标 n n n表示多项式的次数，而
ℓ i ( x ) = x − x 0 x i − x 0 ⋅ x − x 1 x i − x 1 ⋯ ⋯ x − x i − 1 x i − x i − 1 ⋅ x − x i + 1 x i − x i + 1 ⋯ x − x n x i − x n = ∏ j = 0 j ≠ i n x − x i x i − x j , i = 0 , 1 , … , n , ( 1 b ) \begin{aligned}\ell_{i}(x) &=\frac{x-x_{0}}{x_{i}-x_{0}} \cdot \frac{x-x_{1}}{x_{i}-x_{1}} \cdots \cdots \frac{x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}} \cdot \frac{x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}} \cdots \frac{x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}} \\&=\prod_{j=0 \atop j \neq i}^{n} \frac{x-x_{i}}{x_{i}-x_{j}}, \quad i=0,1, \ldots, n\end{aligned},\qquad(1b) ℓi(x)=xi−x0x−x0⋅xi−x1x−x1⋯⋯xi−xi−1x−xi−1⋅xi−xi+1x−xi+1⋯xi−xnx−xn=j=ij=0∏nxi−xjx−xi,i=0,1,…,n,(1b)
被称为基数函数。
例如，如果 n + 1 n+1 n+1，则插值是直线 P 1 ( x ) = y 0 ℓ 0 ( x ) + y 1 ℓ 1 ( x ) P_{1}(x)=y_{0} \ell_{0}(x)+y_{1} \ell_{1}(x) P1(x)=y0ℓ0(x)+y1ℓ1(x)，其中
ℓ 0 ( x ) = x − x 1 x 0 − x 1 ℓ 1 ( x ) = x − x 0 x 1 − x 0 \ell_{0}(x)=\frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}} \quad \ell_{1}(x)=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}} ℓ0(x)=x0−x1x−x1ℓ1(x)=x1−x0x−x0
当 n = 2 n=2 n=2时，插值是抛物线形： P 2 ( x ) = y 0 ℓ 0 ( x ) + y 1 ℓ 1 ( x ) + y 2 ℓ 2 ( x ) P_{2}(x)=y_{0} \ell_{0}(x)+y_{1} \ell_{1}(x)+y_{2} \ell_{2}(x) P2(x)=y0ℓ0(x)+y1ℓ1(x)+y2ℓ2(x)，其中
ℓ 0 ( x ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) ℓ 1 ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) ℓ 2 ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) \begin{array}{l}\ell_{0}(x)=\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right)} \\\ell_{1}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{2}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)} \\\ell_{2}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)}{\left(x_{2}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)}\end{array} ℓ0(x)=(x0−x1)(x0−x2)(x−x1)(x−x2)ℓ1(x)=(x1−x0)(x1−x2)(x−x0)(x−x2)ℓ2(x)=(x2−x0)(x2−x1)(x−x0)(x−x1)
基数函数是次数为n的多项式，并具有以下性质
ℓ i ( x j ) = { 0 if i ≠ j 1 if i = j } = δ i j , ( 2 ) \ell_{i}\left(x_{j}\right)=\left\{\begin{array}{l}0 \text { if } i \neq j \\1 \text { if } i=j\end{array}\right\}=\delta_{i j},\qquad(2) ℓi(xj)={ 0 if i=j1 if i=j}=δij,(2)
其中 δ i j \delta_{i j} δij是Kronecker增量。 图2中针对 x 0 = 0 , x 1 = 2 x_{0}=0, x_{1}=2 x0=0,x1=2和 x 2 = 3 x_{2}=3 x2=3的三点插值（ n = 2 n=2 n=2）演示了此属性。
图2
为了证明插值多项式通过数据点，我们将 x = x j x=x_{j} x=xj代入等式（1a），然后使用等式（2）。 结果是
P n ( x j ) = ∑ i = 0 n y i ℓ i ( x j ) = ∑ i = 0 n y i δ i j = y j P_{n}\left(x_{j}\right)=\sum_{i=0}^{n} y_{i} \ell_{i}\left(x_{j}\right)=\sum_{i=0}^{n} y_{i} \delta_{i j}=y_{j} Pn(xj)=i=0∑nyiℓi(xj)=i=0∑nyiδij=yj
可以证明多项式插值的误差为
f ( x ) − P n ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n ) ( n + 1 ) ! f ( n + 1 ) ( ξ ) , ( 3 ) f(x)-P_{n}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)}{(n+1) !} f^{(n+1)}(\xi),\qquad(3) f(x)−Pn(x)=(n+1)!(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn)f(n+1)(ξ),(3)
ξ \xi ξ位于区间 ( x 0 , x n ) \left(x_{0}, x_{n}\right) (x0,xn)的某处；其值是未知的。 请注意，数据点离 x x x越远，则它对 x x x处的误差的贡献就越大。
牛顿法
尽管拉格朗日法从概念上讲很简单，但它并不适合有效的算法。 使用牛顿法可以获得更好的计算过程，其中插值多项式以以下形式编写：
P n ( x ) = a 0 + ( x − x 0 ) a 1 + ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) a 2 + ⋯ + ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 ) a n P_{n}(x)=a_{0}+\left(x-x_{0}\right) a_{1}+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) a_{2}+\cdots+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) a_{n} Pn(x)=a0+(x−x0)a1+(x−x0)(x−x1)a2+⋯+(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)an
该多项式有助于进行有效的评估程序。 例如，考虑四个数据点（ n = 3 n=3 n=3）。 这里的插值多项式是
P 3 ( x ) = a 0 + ( x − x 0 ) a 1 + ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) a 2 + ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) a 3 = a 0 + ( x − x 0 ) { a 1 + ( x − x 1 ) [ a 2 + ( x − x 2 ) a 3 ] } \begin{aligned}P_{3}(x) &=a_{0}+\left(x-x_{0}\right) a_{1}+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) a_{2}+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) a_{3} \\&=a_{0}+\left(x-x_{0}\right)\left\{a_{1}+\left(x-x_{1}\right)\left[a_{2}+\left(x-x_{2}\right) a_{3}\right]\right\}\end{aligned} P3(x)=a0+(x−x0)a1+(x−x0)(x−x1)a2+(x−x0)(x−x1)(x−x2)a3=a0+(x−x0){ a1+(x−x1)[a2+(x−x2)a3]}
可以通过以下递归关系向后求值：
P 0 ( x ) = a 3 P 1 ( x ) = a 2 + ( x − x 2 ) P 0 ( x ) P 2 ( x ) = a 1 + ( x − x 1 ) P 1 ( x ) P 3 ( x ) = a 0 + ( x − x 0 ) P 2 ( x ) \begin{array}{l}P_{0}(x)=a_{3} \\P_{1}(x)=a_{2}+\left(x-x_{2}\right) P_{0}(x) \\P_{2}(x)=a_{1}+\left(x-x_{1}\right) P_{1}(x) \\P_{3}(x)=a_{0}+\left(x-x_{0}\right) P_{2}(x)\end{array} P0(x)=a3P1(x)=a2+(x−x2)P0(x)P2(x)=a1+(x−x1)P1(x)P3(x)=a0+(x−x0)P2(x)
对于任意 n n n我们有
P 0 ( x ) = a n P k ( x ) = a n − k + ( x − x n − k ) P k − 1 ( x ) , k = 1 , 2 , … , n , ( 4 ) P_{0}(x)=a_{n} \quad P_{k}(x)=a_{n-k}+\left(x-x_{n-k}\right) P_{k-1}(x), \quad k=1,2, \ldots, n,\qquad(4) P0(x)=anPk(x)=an−k+(x−xn−k)Pk−1(x),k=1,2,…,n,(4)
用xData表示数据点的 x x x坐标数组，用 n n n表示多项式的次数，我们有以下算法来计算 P n ( x ) P_{n}(x) Pn(x)：
p = a[n]
for k in range(1,n+1):
p = a[n-k] + (x - xData[n-k])*p
通过强制多项式通过每个数据点来确定 P n P_{n} Pn的系数： y i = P n ( x i ) , i = 0 , 1 , … , n y_{i}=P_{n}\left(x_{i}\right), \quad i=0,1, \ldots, n yi=Pn(xi),i=0,1,…,n。 这产生了这些联立方程：
y 0 = a 0 y 1 = a 0 + ( x 1 − x 0 ) a 1 y 2 = a 0 + ( x 2 − x 0 ) a 1 + ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) a 2 ⋮ y n = a 0 + ( x n − x 0 ) a 1 + ⋯ + ( x n − x 0 ) ( x n − x 1 ) ⋯ ( x n − x n − 1 ) a n , ( a ) \begin{aligned}&\begin{array}{l}y_{0}=a_{0} \\y_{1}=a_{0}+\left(x_{1}-x_{0}\right) a_{1} \\y_{2}=a_{0}+\left(x_{2}-x_{0}\right) a_{1}+\left(x_{2}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right) a_{2}\end{array}\\& \vdots\\& y_{n}=a_{0}+\left(x_{n}-x_{0}\right) a_{1}+\cdots+\left(x_{n}-x_{0}\right)\left(x_{n}-x_{1}\right) \cdots\left(x_{n}-x_{n-1}\right) a_{n}\end{aligned},\qquad(a) y0=a0y1=a0+(x1−x0)a1y2=a0+(x2−x0)a1+(x2−x0)(x2−x1)a2⋮yn=a0+(xn−x0)a1+⋯+(xn−x0)(xn−x1)⋯(xn−xn−1)an,(a)
引入除数差
∇ y i = y i − y 0 x i − x 0 , i = 1 , 2 , … , n ∇ 2 y i = ∇ y i − ∇ y 1 x i − x 1 , i = 2 , 3 , … , n ∇ 3 y i = ∇ 2 y i − ∇ 2 y 2 x i − x 2 , i = 3 , 4 , … n ⋮ ∇ n y n = ∇ n − 1 y n − ∇ n − 1 y n − 1 x n − x n − 1 , ( 5 ) \begin{aligned}&\begin{aligned}\nabla y_{i} &=\frac{y_{i}-y_{0}}{x_{i}-x_{0}}, \quad i=1,2, \ldots, n \\\nabla^{2} y_{i} &=\frac{\nabla y_{i}-\nabla y_{1}}{x_{i}-x_{1}}, \quad i=2,3, \ldots, n \\\nabla^{3} y_{i} &=\frac{\nabla^{2} y_{i}-\nabla^{2} y_{2}}{x_{i}-x_{2}}, \quad i=3,4, \ldots n\end{aligned}\\&\qquad\qquad\vdots\\&\nabla^{n} y_{n}=\frac{\nabla^{n-1} y_{n}-\nabla^{n-1} y_{n-1}}{x_{n}-x_{n-1}}\end{aligned},\qquad(5) ∇yi∇2yi∇3yi=xi−x0yi−y0,i=1,2,…,n=xi−x1∇yi−∇y1,i=2,3,…,n=xi−x2∇2yi−∇2y2,i=3,4,…n⋮∇nyn=xn−xn−1∇n−1yn−∇n−1yn−1,(5)
等式（a）的解为
a 0 = y 0 a 1 = ∇ y 1 a 2 = ∇ 2 y 2 ⋯ a n = ∇ n y n , ( 6 ) a_{0}=y_{0} \quad a_{1}=\nabla y_{1} \quad a_{2}=\nabla^{2} y_{2} \quad \cdots \quad a_{n}=\nabla^{n} y_{n},\qquad(6) a0=y0a1=∇y1a2=∇2y2⋯an=∇nyn,(6)
如果系数是手工计算的，则使用下表1中的格式（ n = 4 n=4 n=4所示）很方便。
表1
表中的对角项（ y 0 , ∇ y 1 , ∇ 2 y 2 , ∇ 3 y 3 y_{0}, \nabla y_{1}, \nabla^{2} y_{2}, \nabla^{3} y_{3} y0,∇y1,∇2y2,∇3y3和 ∇ 4 y 4 \nabla^{4} y_{4} ∇4y4）是多项式的系数。 如果以不同的顺序列出数据点，则表中的条目将发生变化，但所得多项式将是相同的-请记住， n n n次插值 n + 1 n+1 n+1个不同数据点的多项式是唯一的。
可以使用以下算法在一维数组 a a a中进行机器计算（我们使用符号 m = n + 1 = m=n+1= m=n+1=数据点数）：
a = yData.copy()
for k in range(1,m):
for i in range(k,m):
a[i] = (a[i] - a[k-1])/(xData[i] - xData[k-1])
最初，a包含数据的y坐标，因此它与上表1中的第二列相同。 每次通过外部循环都会在下一列中生成条目，这些条目将覆盖a的相应元素。 因此，最终包含表1的对角项（即多项式的系数）。
牛顿插值算法代码
newtonPoly模块包含牛顿法进行插值所需的两个函数。 给定数据点数组xData和yData，函数coeffts返回系数数组a。 找到系数后，可以使用函数evalPoly在x的任何值上评估内插 P n ( x ) P_{n}(x) Pn(x)。
内维尔法
牛顿的插值方法包括两个步骤：系数的计算，然后是多项式的求值。 如果使用相同的多项式在 x x x的不同值处重复执行插值，则效果很好。 如果仅要插值一点，则使用内维尔算法一步计算插值的方法是更方便的选择。
令 P k [ x i , x i + 1 , … , x i + k ] P_{k}\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{i+k}\right] Pk[xi,xi+1,…,xi+k]表示 k k k次多项式通过 k + 1 k+1 k+1个数据点 ( x i , y i ) , ( x i + 1 , y i + 1 ) , … , ( x i + k , y i + k ) \left(x_{i}, y_{i}\right),\left(x_{i+1}, y_{i+1}\right), \ldots,\left(x_{i+k}, y_{i+k}\right) (xi,yi),(xi+1,yi+1),…,(xi+k,yi+k)。 对于单个数据点，我们有
P 0 [ x i ] = y i , ( 7 ) P_{0}\left[x_{i}\right]=y_{i},\qquad(7) P0[xi]=yi,(7)
基于两个数据点的插值是
P 1 [ x i , x i + 1 ] = ( x − x i + 1 ) P 0 [ x i ] + ( x i − x ) P 0 [ x i + 1 ] x i − x i + 1 P_{1}\left[x_{i}, x_{i+1}\right]=\frac{\left(x-x_{i+1}\right) P_{0}\left[x_{i}\right]+\left(x_{i}-x\right) P_{0}\left[x_{i+1}\right]}{x_{i}-x_{i+1}} P1[xi,xi+1]=xi−xi+1(x−xi+1)P0[xi]+(xi−x)P0[xi+1]
很容易验证 P 1 [ x i , x i + 1 ] P_{1}\left[x_{i}, x_{i+1}\right] P1[xi,xi+1]通过两个数据点; 也就是说，当 x = x i x=x_{i} x=xi时， P 1 [ x i , x i + 1 ] = y i P_{1}\left[x_{i}, x_{i+1}\right]=y_{i} P1[xi,xi+1]=yi，当 x = x i + 1 x=x_{i+1} x=xi+1时， P 1 [ x i , x i + 1 ] = y i + 1 P_{1}\left[x_{i}, x_{i+1}\right]=y_{i+1} P1[xi,xi+1]=yi+1。
三点插值是
P 2 [ x i , x i + 1 , x i + 2 ] = ( x − x i + 2 ) P 1 [ x i , x i + 1 ] + ( x i − x ) P 1 [ x i + 1 , x i + 2 ] x i − x i + 2 P_{2}\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2}\right]=\frac{\left(x-x_{i+2}\right) P_{1}\left[x_{i}, x_{i+1}\right]+\left(x_{i}-x\right) P_{1}\left[x_{i+1}, x_{i+2}\right]}{x_{i}-x_{i+2}} P2[xi,xi+1,xi+2]=xi−xi+2(x−xi+2)P1[xi,xi+1]+(xi−x)P1[xi+1,xi+2]
为了证明该插值确实与数据点相交，我们首先将 x = x i x=x_{i} x=xi代入，得到
P 2 [ x i , x i + 1 , x i + 2 ] = P 1 [ x i , x i + 1 ] = y i P_{2}\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2}\right]=P_{1}\left[x_{i}, x_{i+1}\right]=y_{i} P2[xi,xi+1,xi+2]=P1[xi,xi+1]=yi
同样， x = x i + 2 x=x_{i+2} x=xi+2得出
P 2 [ x i , x i + 1 , x i + 2 ] = P 2 [ x i + 1 , x i + 2 ] = y i + 2 P_{2}\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2}\right]=P_{2}\left[x_{i+1}, x_{i+2}\right]=y_{i+2} P2[xi,xi+1,xi+2]=P2[xi+1,xi+2]=yi+2
最后，当 x = x i + 1 x=x_{i+1} x=xi+1时，我们有
P 1 [ x i , x i + 1 ] = P 1 [ x i + 1 , x i + 2 ] = y i + 1 P_{1}\left[x_{i}, x_{i+1}\right]=P_{1}\left[x_{i+1}, x_{i+2}\right]=y_{i+1} P1[xi,xi+1]=P1[xi+1,xi+2]=yi+1
于是
P 2 [ x i , x i + 1 , x i + 2 ] = ( x i + 1 − x i + 2 ) y i + 1 + ( x i − x i + 1 ) y i + 1 x i − x i + 2 = y i + 1 P_{2}\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2}\right]=\frac{\left(x_{i+1}-x_{i+2}\right) y_{i+1}+\left(x_{i}-x_{i+1}\right) y_{i+1}}{x_{i}-x_{i+2}}=y_{i+1} P2[xi,xi+1,xi+2]=xi−xi+2(xi+1−xi+2)yi+1+(xi−xi+1)yi+1=yi+1
建立了模式之后，我们现在可以推导出通用的递归公式：
P k [ x i , x i + 1 , … , x i + k ] = ( x − x i + k ) P k − 1 [ x i , x i + 1 , … , x i + k − 1 ] + ( x i − x ) P k − 1 [ x i + 1 , x i + 2 , … , x i + k ] x i − x i + k , ( 8 ) \begin{aligned}& P_{k}\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{i+k}\right]=\\& \frac{\left(x-x_{i+k}\right) P_{k-1}\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{i+k-1}\right]+\left(x_{i}-x\right) P_{k-1}\left[x_{i+1}, x_{i+2}, \ldots, x_{i+k}\right]}{x_{i}-x_{i+k}}\end{aligned},\qquad(8) Pk[xi,xi+1,…,xi+k]=xi−xi+k(x−xi+k)Pk−1[xi,xi+1,…,xi+k−1]+(xi−x)Pk−1[xi+1,xi+2,…,xi+k],(8)
给定 x x x的值，可以按照以下表格格式（针对四个数据点显示）进行计算：
表2
用 m m m表示数据点的数量，计算表元素的算法为
该算法适用于一维数组y，该数组最初包含数据的y值（表2中的第二列）。 每次通过外部循环，都会计算下一列中的y元素，这些元素将覆盖先前的条目。 在过程的最后，y包含表格的对角线项。 穿过所有数据点的插值的值（在x处评估）是y的第一个元素
内维尔插值算法代码
多项式插值的局限性
多项式插值应使用最少可行的数据点数进行。 如果数据点之间的距离很近，则使用最接近的两个点进行线性插值通常就足够了。 在大多数情况下，三到六个最近的邻居点会产生良好的结果。 相交超过六个点的插值器必须令人怀疑。 原因是远离兴趣点的数据点不会影响插值的准确性。 实际上，它们可能是有害的。
使用过多点的危险如图3所示。 圆圈表示11个等距的数据点。 实线是内插值，它是所有点相交的次数为10的多项式。 如图所示，如此高的多项式有在数据点之间过度振荡的趋势。 通过使用跨越四个最近邻点的三次插值，可以获得更加平滑的结果。
图3
多项式外推（在数据点范围之外进行内插）是危险的。 作为示例，请考虑图4。 六个数据点显示为圆圈。 第五级插值多项式由实线表示。 插值在数据点的范围内看起来很好，但是当x> 12时，明显偏离明显的趋势。例如，在这种情况下，将x推算为14时，y是不合理的。
图4
如果无法避免外推，则可以使用以下措施：
- 绘制数据并直观地验证外推值是否有意义。
- 使用基于最近邻居数据点的低阶多项式。 例如，对于图4中的数据，线性或二次插值将产生 y ( 14 ) y(14) y(14)的合理估计。
- 处理对数x与对数y的关系图，该图通常比x-y曲线平滑得多，因此推断起来更安全。 通常，该图几乎是一条直线。 这在图5中进行了说明，该图表示图4中数据的对数图。
图5
示例1
给定数据点
使用拉格朗日法确定 x = 1 x=1 x=1处的 y y y
ℓ 0 = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) = ( 1 − 2 ) ( 1 − 3 ) ( 0 − 2 ) ( 0 − 3 ) = 1 3 ℓ 1 = ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) = ( 1 − 0 ) ( 1 − 3 ) ( 2 − 0 ) ( 2 − 3 ) = 1 ℓ 2 = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) = ( 1 − 0 ) ( 1 − 2 ) ( 3 − 0 ) ( 3 − 2 ) = − 1 3 y = y 0 ℓ 0 + y 1 ℓ 1 + y 2 ℓ 2 = 7 3 + 11 − 28 3 = 4 \begin{array}{l}\ell_{0}=\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right)}=\frac{(1-2)(1-3)}{(0-2)(0-3)}=\frac{1}{3} \\\\\ell_{1}=\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{2}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)}=\frac{(1-0)(1-3)}{(2-0)(2-3)}=1 \\\\\ell_{2}=\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)}{\left(x_{2}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)}=\frac{(1-0)(1-2)}{(3-0)(3-2)}=-\frac{1}{3} \\\\y=y_{0} \ell_{0}+y_{1} \ell_{1}+y_{2} \ell_{2}=\frac{7}{3}+11-\frac{28}{3}=4\end{array} ℓ0=(x0−x1)(x0−x2)(x−x1)(x−x2)=(0−2)(0−3)(1−2)(1−3)=31ℓ1=(x1−x0)(x1−x2)(x−x0)(x−x2)=(2−0)(2−3)(1−0)(1−3)=1ℓ2=(x2−x0)(x2−x1)(x−x0)(x−x1)=(3−0)(3−2)(1−0)(1−2)=−31y=y0ℓ0+y1ℓ1+y2ℓ2=37+11−328=4
示例2
数据点
在多项式上。 通过构造一个类似于表1的除差表来确定该多项式的次数。
这是用于得出表中数字的一些示例计算：
∇ y 2 = y 2 − y 0 x 2 − x 0 = 59 − ( − 1 ) 4 − ( − 2 ) = 10 ∇ 2 y 2 = ∇ y 2 − ∇ y 1 x 2 − x 1 = 10 − 1 4 − 1 = 3 ∇ 3 y 5 = ∇ 2 y 5 − ∇ 2 y 2 x 5 − x 2 = − 5 − 3 − 4 − 4 = 1 \begin{aligned}\nabla y_{2} &=\frac{y_{2}-y_{0}}{x_{2}-x_{0}}=\frac{59-(-1)}{4-(-2)}=10 \\\\\nabla^{2} y_{2} &=\frac{\nabla y_{2}-\nabla y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{10-1}{4-1}=3 \\\\\nabla^{3} y_{5} &=\frac{\nabla^{2} y_{5}-\nabla^{2} y_{2}}{x_{5}-x_{2}}=\frac{-5-3}{-4-4}=1\end{aligned} ∇y2∇2y2∇3y5=x2−x0y2−y0=4−(−2)59−(−1)=10=x2−x1∇y2−∇y1=4−110−1=3=x5−x2∇2y5−∇2y2=−4−4−5−3=1
从表中我们可以看到，牛顿多项式的最后一个非零系数（最后一个非零对角线项）为 ∇ 3 y 3 \nabla^{3} y_{3} ∇3y3，这是三次项的系数。 因此，多项式是三次的。
示例3
给定数据点
用内维尔法确定 y ( x ) = 0 y(x)=0 y(x)=0的根。
这是逆插值的示例，其中 x x x和 y y y的角色互换。 我们不是在给定的 x x x上计算 y y y，而是找到与给定 y y y对应的 x x x（在这种情况下， y = 0 y=0 y=0）。 使用表2的格式（当然 x x x和 y y y互换了），我们得到
以下是表中使用的示例计算：
表格中的所有 P P P都是根的估计值，根是由涉及不同数据点的不同插值顺序得出的。 例如， P 1 [ y 0 , y 1 ] P_{1}\left[y_{0}, y_{1}\right] P1[y0,y1]是根据前两个点通过线性插值获得的根，而 P 2 [ y 1 , y 2 , y 3 ] P_{2}\left[y_{1}, y_{2}, y_{3}\right] P2[y1,y2,y3]是使用后三个点进行二次插值的结果。 从所有四个数据点的三次插值获得的根是 x = P 3 [ y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ] = 3.8317 x=P_{3}\left[y_{0}, y_{1}, y_{2}, y_{3}\right]=3.8317 x=P3[y0,y1,y2,y3]=3.8317。
示例4
表中的数据点位于 f ( x ) = 4.8 cos π x 20 f(x)=4.8 \cos \frac{\pi x}{20} f(x)=4.8cos20πx的图上。 通过牛顿法在 x = 0 , 0.5 , 1.0 , … , 8.0 x=0,0.5,1.0, \ldots, 8.0 x=0,0.5,1.0,…,8.0处插值此数据，然后将结果与“精确”值 y i = f ( x i ) y_{i}=f\left(x_{i}\right) yi=f(xi)进行比较。
详情参阅 – 亚图跨际
