http://blog.csdn.net/github_30242787/article/details/50819414

递归和动态规划

内容基于九章算法课件 
（http://www.jiuzhang.com/）

从Triangle这个问题说起：

题目：

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below. 
Example： 
Given the following triangle: 
[ 
[2], 
[3,4], 
[6,5,7], 
[4,1,8,3] 
] 
The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

三种解法

遇到这道题，老师说开始先给出暴力解法之后进行优化是可以的，不一定一开始就给出最优解，想出来一个暴力解法觉得傻就不说话。。。 
– DFS：Traverse 
 
其中时间复杂度为O(2n), 其中n为Triangle中的点数， 注意使用Traverse的方法的时候，结果是当作函数参数传递的。 
– DFS：Divide and Conquer 
 
时间复杂度依然为O(2n), 其中n为Triangle中的点数，同使用Traverse的方法不同的是，Divide and Conquer 的结果是作为函数返回值而不是函数参数，要不然没法conquer。 
–DFS：Divide and Conquer 加 memorization 
 
时间复杂度为O(n2)，其中ｎ为Triangle的层数。 
其中注意，如果求最小值的时候，初始化往往是int或其类型的最大值；反之如果求最大值，初始化往往为最小值 
记忆法的分治时间复杂度计算：

a=一共多少个点 
b=每个点处理的时间复杂度 
c=每个点访问几次 
分治法的总时间复杂度=a∗b∗c

此题中的时间复杂度的a为O(n2), b和c均为O(1), 最后的结果为O(n2)。

讨论:

动态规划和分治

1.动态规划是一种算法思想,是高于算法的.而分治的记忆化搜索是实现动态规划的一种手段.
2.那么什么是动态规划呢?
-就感觉上来说,动态规划的是"一层一层来",基于前一个状态推出现在的状态.
3.动态规划为什么会快呢?
-因为减少了很多不必要的重复计算.
4.动态规划和分治的区别?
-动态规划约等于分治+记忆化,因为有了记忆化,所以算过的直接用就行,就不用再算一遍了.

什么时候使用动态规划:

动态规划适合把暴力时间复杂度为指数型的问题转化为多项式的复杂度,即O(2n)或O(n!) 转化为O(n2) 
1.求最大最小的问题 
2.判断可不可行,存不存在 
3.统计方案个数

什么时候不用动态规划:

动态规划不适合把本来时间复杂度就在O(n2)或者O(n3)的问题继续优化,因为不怎么能优化… 
1.求!!所有的,具体的!!方案而不是方案个数,要用DFS而不是DP.(100%不用DP) 
2.输入数据是一个集合而非序列(90%不用DP)

动态规划的实现方式

多重循环的两种方式:

• 自底向上
• 自顶向下

自底向上代码如下: 
 
时间复杂度: O(n2) 
空间复杂度:O(n2),看开了一个多大的数组就是结果,莫想的太复杂… 
自顶向上代码如下: 
 
时间复杂度依旧: O(n2) 
空间复杂度依旧:O(n2),依旧看开了一个多大的数组就是结果,依旧莫想的太复杂…

动态规划的四点要素

 1.状态:即定义,划分为六大问题
 2.方程:即从前一种状态推出现在的状态.
 3.初始化:极限小的状态,即为起点.
 4.答案:终点

状态的六大问题:

 1.坐标型15%
 2.序列型30%
 3.双序列型30%
 4.划分型10%
 5.背包型10%
 5.区间型5%

初始化的小技巧

 没有左上和右上的提出来先算,也可以说成二维DP问题, [i,0]和[0,i]先初始化.

坐标型动态规划