递归与分治策略（一）

简而言之，递归就是自己调用自己。

递归算法：直接或者间接地调用自身的算法。

递归函数：用函数自身给出定义的函数。

注意：每个递归函数都必须有非递归定义的初始值，以确保递归函数完成计算。

下面通过两个例子来介绍递归的特点

例1 阶乘函数

阶乘函数递归地定义为：

n!=1   (n=0)   

或者   

n!=n(n-1)!  (n>0)

下面用一段简单的Java代码实现

这里是递归实现：

public static int facterial(int n) {
		if (n == 0)
			return 1;
		else if (n < 0)
			return -1;//发生异常，退出
		else
			return n * facterial(n - 1);
	}

下面是迭代实现：

public static int f(int n) {
		if (n == 0)
			return 1;
		else if (n < 0)
			return -1;//发生异常，退出
		else {
			for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
				n *= i;
			}
			return n;
		}

	}

分析比较一下两种实现方法：

递归实现：时间复杂度O(n)；空间复杂度O(n)。

迭代实现：时间复杂度O(n)；空间复杂度O(1)。

比较可知两种实现的时间复杂度等价，空间复杂度递归占用的略大一下，但是代码的结构清晰度递归更清晰一些。

下面进行第二个例子的讲解

例2 Fibonacci数列

Fibonacci数列的递归定义为

F(n)=1   (n=0,1)

或者

F(n)=F(n-1)+F(n-2)    (n>1)

下面用一段简单的Java代码实现

这里是递归实现：

public static int fibonacci(int n ){
		if(n<0)
			return -1; //发生异常，退出
		else if(n<=1)
			return 1;
		else 
			return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
	}

下面是迭代实现：

public static int F(int n){
		if(n<0)
			return -1; //发生异常，退出
		else if(n<=1)
			return 1;
		else {
			int f0=1,f1=1,fx=0;
			for(int i=2;i<=n;i++){
				fx=f0+f1;
				f0=f1;
				f1=fx;
			}
			return fx;
		}
	}

分析比较一下两种实现方法：

递归实现：时间复杂度O(1.618的n次方)；空间复杂度O(n)。

迭代实现：时间复杂度O(n)；空间复杂度O(1)。

比较可知递归实现的时间复杂度已经非常大了，空间复杂度递归占用的略大一下，但是代码的清晰度递归更清晰一些。而真正使用起来递归实现的代码是无用代码，用n=40这个数测试一下便知，递归实现的耗时太长了，有兴趣的可以测试一下。

下面归纳一下递归算法的特点：

1.简单（结构清晰，可读性强）

2.性能较低（相比较迭代而言）

性能较低的原因有以下两点：

1 需递归调用工作栈支持（无法避免）

2 有可能出现子问题重叠现象（必须尽力避免）

这里递归的主要知识点就讲完了，下面介绍一下文章标题的分治法。

分治法的基本思想：

（容易）分解->递归->（容易）合并

分解：讲一个大规模的问题分解为多个规模较小的子问题，需要注意的是子问题必须互相独立并且与原问题相同。

这里用一个例子进行讲解：归（合）并排序。

这里留在下一篇文章介绍，睡觉咯，今天学到了这些，和大家分享一下，感谢大家的支持。