Strassen矩阵乘法 分治与递归

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Strassen矩阵乘法

矩阵乘法是线性代数中最常见的运算之一,它在数值计算中有广泛的应用。若AB2n×n的矩阵,则它们的乘积C=AB同样是一个n×n的矩阵。AB的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为:

分治与递归–strassen矩阵乘法

若依此定义来计算AB的乘积矩阵C,则每计算C的一个元素C[i,j],需要做n个乘法和n-1次加法。因此,求出矩阵Cn2个元素所需的计算时间为0(n3)

60年代末,Strassen采用了类似于在大整数乘法中用过的分治技术,将计算2n阶矩阵乘积所需的计算时间改进到O(nlog7)=O(n2.18)

首先,我们还是需要假设n2的幂。将矩阵ABC中每一矩阵都分块成为4个大小相等的子矩阵,每个子矩阵都是n/2×n/2的方阵。由此可将方程C=AB重写为:

分治与递归–strassen矩阵乘法(1)

由此可得:

C11=A11B11+A12B21                          (2)

C12=A11B12+A12B22                          (3)

C21=A21B11+A22B21                          (4)

C22=A21B12+A22B22                          (5)

如果n=2,则22阶方阵的乘积可以直接用(2)-(3)式计算出来,共需8次乘法和4次加法。当子矩阵的阶大于2时,为求2个子矩阵的积,可以继续将子矩阵分块,直到子矩阵的阶降为2。这样,就产生了一个分治降阶的递归算法。依此算法,计算2n阶方阵的乘积转化为计算8n/2阶方阵的乘积和4n/2阶方阵的加法。2n/2×n/2矩阵的加法显然可以在c*n2/4时间内完成,这里c是一个常数。因此,上述分治法的计算时间耗费T(n)应该满足:

分治与递归–strassen矩阵乘法

这个递归方程的解仍然是T(n)=O(n3)。因此,该方法并不比用原始定义直接计算更有效。究其原因,乃是由于式(2)-(5)并没有减少矩阵的乘法次数。而矩阵乘法耗费的时间要比矩阵加减法耗费的时间多得多。要想改进矩阵乘法的计算时间复杂性,必须减少子矩阵乘法运算的次数。按照上述分治法的思想可以看出,要想减少乘法运算次数,关键在于计算22阶方阵的乘积时,能否用少于8次的乘法运算。Strassen提出了一种新的算法来计算22阶方阵的乘积。他的算法只用了7次乘法运算,但增加了加、减法的运算次数。这7次乘法是:

M1=A11(B12-B22)

M2=(A11+A12)B22

M3=(A21+A22)B11

M4=A22(B21-B11)

M5=(A11+A22)(B11+B22)

M6=(A12-A22)(B21+B22)

M7=(A11-A21)(B11+B12)

做了这7次乘法后,再做若干次加、减法就可以得到:

C11=M5+M4-M2+M6

C12=M1+M2

C21=M3+M4

C22=M5+M1-M3-M7

以上计算的正确性很容易验证。例如:

C22=M5+M1-M3-M7

  =(A11+A22)(B11+B22)+A11(B12-B22)-(A21+A22)B11-(A11-A21)(B11+B12)

  =A11B11+A11B22+A22B11+A22B22+A11B12

     -A11B22-A21B11-A22B11-A11B11-A11B12+A21B11+A21B12

  =A21B12+A22B22

(2)式便知其正确性。

至此,我们可以得到完整的Strassen算法如下:

procedure STRASSEN(n,A,B,C);
begin
 if n=2 then MATRIX-MULTIPLY(A,B,C)
         else begin
                将矩阵A和B依(1)式分块;
                STRASSEN(n/2,A11,B12-B22,M1);
                STRASSEN(n/2,A11+A12,B22,M2);
                STRASSEN(n/2,A21+A22,B11,M3);
                STRASSEN(n/2,A22,B21-B11,M4);
                STRASSEN(n/2,A11+A22,B11+B22,M5);
                STRASSEN(n/2,A12-A22,B21+B22,M6);
                STRASSEN(n/2,A11-A21,B11+B12,M7);
                   分治与递归--strassen矩阵乘法;
              end;
end;

其中MATRIX-MULTIPLY(ABC)是按通常的矩阵乘法计算C=AB的子算法。

Strassen矩阵乘积分治算法中,用了7次对于n/2阶矩阵乘积的递归调用和18n/2阶矩阵的加减运算。由此可知,该算法的所需的计算时间T(n)满足如下的递归方程:

分治与递归–strassen矩阵乘法

按照解递归方程套用公式法,其解为T(n)=O(nlog7)≈O(n2.81)。由此可见,Strassen矩阵乘法的计算时间复杂性比普通矩阵乘法有阶的改进。

有人曾列举了计算22阶矩阵乘法的36种不同方法。但所有的方法都要做7次乘法。除非能找到一种计算2阶方阵乘积的算法,使乘法的计算次数少于7次,按上述思路才有可能进一步改进矩阵乘积的计算时间的上界。但是HopcroftKerr(197l)已经证明,计算22×2矩阵的乘积,7次乘法是必要的。因此,要想进一步改进矩阵乘法的时间复杂性,就不能再寄希望于计算2×2矩阵的乘法次数的减少。或许应当研究3×35×5矩阵的更好算法。在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性。目前最好的计算时间上界是O(n2.367)。而目前所知道的矩阵乘法的最好下界仍是它的平凡下界Ω(n2)。因此到目前为止还无法确切知道矩阵乘法的时间复杂性。关于这一研究课题还有许多工作可做。

 

importjava.util.*;

 

publicclass Strassen{

 

      public Strassen(){

             A = new int[NUMBER][NUMBER];

             B = new int[NUMBER][NUMBER];

             C = new int[NUMBER][NUMBER];

      }

 

      

      public void input(int a[][]){

             Scanner scanner = new Scanner(System.in);

             for(int i = 0; i < a.length; i++) {

                    for(int j = 0; j < a[i].length; j++) {

                          a[i][j] = scanner.nextInt();

                    }

             }

      }

 

      

      public void output(int[][] resault){

             for(int b[] : resault) {

                    for(int temp : b) {

                           System.out.print(temp + ”  “);

                    }

                    System.out.println();

             }

      }

 

      

      public void Mul(int[][] first, int[][] second, int[][]resault){

             for(int i = 0; i < 2; ++i) {

                    for(int j = 0; j < 2; ++j) {

                           resault[i][j] = 0;

                           for(int k = 0; k < 2; ++k) {

                                  resault[i][j] += first[i][k] * second[k][j];

                           }

                    }

            }

 

      }

 

      

      public void Add(int[][] first, int[][] second, int[][]resault){

             for(int i = 0; i < first.length; i++) {

                    for(int j = 0; j < first[i].length; j++){

                           resault[i][j] = first[i][j] + second[i][j];

                    }

             }

      }

 

      

      public void sub(int[][] first, int[][] second, int[][]resault){

             for(int i = 0; i < first.length; i++) {

                    for(int j = 0; j < first[i].length; j++){

                           resault[i][j] = first[i][j] – second[i][j];

                    }

             }

      }

 

      

      public void strassen(int[][] A, int[][] B, int[][] C){

             //定义一些中间变量

             int [][] M1=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] M2=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] M3=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] M4=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] M5=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] M6=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] M7=new int [NUMBER][NUMBER];

 

             int [][] C11=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] C12=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] C21=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] C22=new int [NUMBER][NUMBER];

 

             int [][] A11=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] A12=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] A21=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] A22=new int [NUMBER][NUMBER];

 

             int [][] B11=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] B12=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] B21=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] B22=new int [NUMBER][NUMBER];

 

             int [][] temp=new int [NUMBER][NUMBER];

             int [][] temp1=new int [NUMBER][NUMBER];

 

 

 

             if(A.length==2){

                    Mul(A, B, C);

             }else{

                    //首先将矩阵A,B 分为4块

                    for(int i = 0; i < A.length/2; i++) {

                 for(int j = 0; j < A.length/2; j++) {

                        A11[i][j]=A[i][j];

                    A12[i][j]=A[i][j+A.length/2];

                    A21[i][j]=A[i+A.length/2][j];

                    A22[i][j]=A[i+A.length/2][j+A.length/2];

                    B11[i][j]=B[i][j];

                    B12[i][j]=B[i][j+A.length/2];

                    B21[i][j]=B[i+A.length/2][j];

                    B22[i][j]=B[i+A.length/2][j+A.length/2];

               }

           }

                    //计算M1

                    sub(B12, B22, temp);

                    Mul(A11, temp, M1);

                    //计算M2

                    Add(A11, A12, temp);

                    Mul(temp, B22, M2);

                    //计算M3

                    Add(A21, A22, temp);

                    Mul(temp, B11, M3);

                    //M4

                    sub(B21, B11, temp);

                    Mul(A22, temp, M4);

                    //M5

                    Add(A11, A22, temp1);

                    Add(B11, B22, temp);

                    Mul(temp1, temp, M5);

                    //M6

                    sub(A12, A22, temp1);

                    Add(B21, B22, temp);

                    Mul(temp1, temp, M6);

                    //M7

                    sub(A11, A21, temp1);

                    Add(B11, B12, temp);

                    Mul(temp1, temp, M7);

 

                    //计算C11

                    Add(M5, M4, temp1);

                    sub(temp1, M2, temp);

                    Add(temp, M6, C11);

                    //计算C12

                    Add(M1, M2, C12);

                    //C21

                    Add(M3, M4, C21);

                    //C22

                    Add(M5, M1, temp1);

                    sub(temp1, M3, temp);

                    sub(temp, M7, C22);

 

                    //结果送回C中

                    for(int i = 0; i < C.length/2; i++) {

                 for(int j = 0; j < C.length/2; j++) {

                       C[i][j]=C11[i][j];

                     C[i][j+C.length/2]=C12[i][j];

                     C[i+C.length/2][j]=C21[i][j];

                     C[i+C.length/2][j+C.length/2]=C22[i][j];

               }

           }

 

 

             }

 

      }

 

      public static void main(String[] args){

             Strassen demo=new Strassen();

             System.out.println(“输入矩阵A”);

             demo.input(A);

             System.out.println(“输入矩阵B”);

             demo.input(B);

             demo.strassen(A, B, C);

             demo.output(C);

      }

 

      private static int A[][];

      private static int B[][];

      private static int C[][];

      private final static int NUMBER = 4;

}

    原文作者:递归与分治算法
    原文地址: https://blog.csdn.net/yuebao1991/article/details/50477028
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