分治是基于多分枝递归的一种算法。简单的说就是把一个大问题分解为多个类型相同的子问题，最后把这些子问题的解合并起来就是问题的解。

我们看一下典型的递归和分治算法。

问题1：插入排序的递归算法

思路：1.首先找到突破点——如果有n个数，前面n-1个都已排序，那么我只要把最后一个数插入到正确的位置即可。那如何让前n-1个都已排序，如果前n-2个都已排序就好了……一直到第一个已排序，明显的第一个肯定是已排序的，那么这就是1停止条件。

2.当有了思路后，写递归函数时一定要确信自己的递归函数没错，不要想如果错了怎么办？如果sort(a,n-1)就是表示前n-1个数都已排序。

3.当合并数据时，直接考虑最后合并的情况。如当前n-1个数都是已经排序的，那么就考虑如何将最后一个数插入到合适的位置（如下merge1函数）

#include<iostream>
using namespace std;
void merge1(int a[],int j){
     int i;
     int k=a[j];
     for(i=j-1;i>0;i--){
        if(k<a[i]){
            a[i+1]=a[i];}
        else {break;}
     }
     a[i+1]=k;
}void sort1(int a[],int n){
     if(n!=1){
        sort1(a,n-1);
        merge1(a,n);
     }
}

int main(){
   int a[10];
   for(int i=1;i<=9;i++)
    cin>>a[i];

   sort1(a,9);
   for(int i=1;i<=9;i++)
   cout<<a[i];
}

问题2：二分查找法递归版

前提是序列已经排序

#include<iostream>
using namespace std;
int binary_find(int a[],int key,int start,int en){
    int middle=(start+en)/2;
    if(a[middle]==key)
        return middle;
    if(middle<start||middle>en)
        return -1;
    if(key<a[middle])
        binary_find(a,key,start,middle-1);
    if(key>a[middle])
        binary_find(a,key,middle+1,en);
}
int main ()
{
    int a[]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
    cout<<binary_find(a,10,0,9);
}

问题3：求x的n次方

平时我们用for循环求x的n次方，时间复杂度为o(n),下面递归时间复杂度为o(logn)

#include<iostream>
using namespace std;
long power(int base,int n){
     if(n==1)
        return base;
     else if(n%2==0){
        int tmp=power(base,n/2);
        return tmp*tmp;
     }
     else{
         int tem=power(base,n/2);
         return tem*tem*base;
     }
}
int main ()
{
cout<<power(2,11);
}

问题4：归并排序

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
void merge1(int a[],int p,int q,int r){
     int i,j,k;
     int n1=q-p+1;
     int n2=r-q;
     int l[n1];
     int rr[n2];
     for(i=0;i<n1;i++){
        l[i]=a[p+i];
     }
     for(j=0;j<n2;j++)
        rr[j]=a[q+1+j];
        i=0;j=0;k=p;
     while(i<n1&&j<n2){
        if(l[i]<=rr[j]){
            a[k]=l[i];
            i++;
            k++;
        }
        else{
            a[k]=rr[j];
            j++;
            k++;
        }
     }
     while(i<n1){
        a[k]=l[i];
        i++;
        k++;
     }
     while(j<n2){
        a[k]=rr[j];
        j++;
        k++;
     }
}
void merge_sort(int a[],int p,int r){
     if(p<r){
        int q=(p+r)/2;
        merge_sort(a,p,q);
        merge_sort(a,q+1,r);
        merge1(a,p,q,r);
     }
}
void show(int a[]){
     for(int i=0;i<10;i++){
        cout<<a[i]<<" ";
     }
}
int main ()
{
     int a[]={1,0,9,3,2,4,5,7,6,8};
     merge_sort(a,0,9);
     show(a);
     cout<<endl;
}

问题5快速排序

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
int partitions(int a[],int beg,int en){
    int key=a[beg];
    int i=beg,j=en;

    while(i<j){
        while(i<j&&a[j]>=key) j--;
        if(i<j){
        int tmp=a[i];
        a[i]=a[j];
        a[j]=tmp;}
        while(i<j&&a[i]<=key) i++;
        if(i<j){
        int tmp=a[i];
        a[i]=a[j];
        a[j]=tmp;}
    }
    return i;
}
void quick_sort(int a[],int beg,int en){
     if(beg<en){
        int middle=partitions(a,beg,en);
        quick_sort(a,beg,middle-1);
        quick_sort(a,middle+1,en);
     }
}
int main ()
{
    int a[]={1,4,5,2,9,6,8,0,3,7};
    quick_sort(a,0,9);
   for(int i=0;i<10;i++)
   {
       cout<<a[i]<<" ";
   }
   int *p=a;
   while(p!=a+10){
    cout<<*p<<" ";
    p++;
   }
    cout<<endl;
}